Простір станів — у теорії керування один з основних методів опису поведінки динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміну її станів.
Визначення
Простір станів зазвичай називають фазовим простором динамічної системи, а траєкторію руху, що зображає точки в цьому просторі — фазовою траєкторією.
У просторі станів створюється модель динамічної системи, що включає набір змінних входу, виходу і стану, пов'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передавальної функції та інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами і нульовими початковими умовами. Крім того, в просторі станів відносно просто працювати з MIMO-системами.
Лінійні неперервні системи
Для випадку лінійної системи з входами, виходами і змінними стану опис має вигляд:
де
- ; ; ;
- , , , , :
- — вектор стану, елементи якого називають станами системи
- — вектор виходу,
- — вектор керування,
- — матриця системи,
- — матриця керування,
- — матриця виходу,
- — матриця прямого зв'язку.
Часто матриця є нульовою, це означає, що в системі немає явного .
Дискретні системи
Для запис рівнянь у просторі ґрунтується не на диференціальних, а на різницевих рівняннях:
Нелінійні системи
Нелінійну динамічну систему n-го порядку можна описати у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:
або в компактнішій формі:
- .
Перше рівняння — це рівняння стану, друге — рівняння виходу.
Лінеаризація
У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околу робочої точки . У сталому режимі для робочої точки справедливий такий вираз:
Вводячи позначення:
Розклад рівняння стану в ряд Тейлора, обмежений першими двома членами дає такий вираз:
При взятті часткових похідних вектор-функції за вектором змінних станів і вектором вхідних впливів виходять матриці Якобі відповідних систем функцій:
- .
Аналогічно для функції виходу:
З огляду на , лінеаризований опис динамічної системи в околі робочої точки набуде вигляду: де
- .
Приклади
Модель у просторі станів для маятника
Маятник є класичною вільною нелінійною системою. Математично рух маятника описує таке співвідношення:
де
- — кут відхилення маятника.
- — зведена маса маятника
- — прискорення вільного падіння
- — коефіцієнт тертя в підшипнику підвісу
- — довжина підвісу маятника
У такому випадку рівняння в просторі станів матимуть вигляд:
де
- — кут відхилення маятника
- — кутова швидкість маятника
- — кутове прискорення маятника
Запис рівнянь стану в загальному вигляді:
- .
Лінеаризація моделі маятника
Лінеаризована матриця системи для моделі маятника в околі точки рівноваги має вигляд:
За відсутності тертя в підвісі k = 0 отримаємо рівняння руху математичного маятника:
Див. також
Література
- книги
- Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г.. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. — М. : Наука, 1967.
- Андронов А. А., , Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М. : Наука, 1981. — 918 с.
- статті
- Фейгин М.И.. Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы : [ 30 листопада 2007] : ( )[рос.] // : журнал. — 2001. — Т. 7, № 3. — С. 121—127.
Посилання
- (рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Syudi perenapravlyayetsya zapit Prostir staniv Na cyu temu potribna okrema stattya Prostir staniv u teoriyi keruvannya odin z osnovnih metodiv opisu povedinki dinamichnoyi sistemi Ruh sistemi v prostori staniv vidbivaye zminu yiyi staniv ViznachennyaProstir staniv zazvichaj nazivayut fazovim prostorom dinamichnoyi sistemi a trayektoriyu ruhu sho zobrazhaye tochki v comu prostori fazovoyu trayektoriyeyu U prostori staniv stvoryuyetsya model dinamichnoyi sistemi sho vklyuchaye nabir zminnih vhodu vihodu i stanu pov yazanih mizh soboyu diferencialnimi rivnyannyami pershogo poryadku yaki zapisuyutsya v matrichnij formi Na vidminu vid opisu u viglyadi peredavalnoyi funkciyi ta inshih metodiv chastotnoyi oblasti prostir staniv dozvolyaye pracyuvati ne tilki z linijnimi sistemami i nulovimi pochatkovimi umovami Krim togo v prostori staniv vidnosno prosto pracyuvati z MIMO sistemami Linijni neperervni sistemi Strukturna shema neperervnoyi linijnoyi sistemi opisanoyi u viglyadi zminnih stanu Dlya vipadku linijnoyi sistemi z p displaystyle p vhodami q displaystyle q vihodami i n displaystyle n zminnimi stanu opis maye viglyad x t A t x t B t u t displaystyle dot mathbf x t A t mathbf x t B t mathbf u t y t C t x t D t u t displaystyle mathbf y t C t mathbf x t D t mathbf u t de x t R n displaystyle x t in mathbb R n y t R q displaystyle y t in mathbb R q u t R p displaystyle u t in mathbb R p dim A n n displaystyle operatorname dim A cdot n times n dim B n p displaystyle operatorname dim B cdot n times p dim C q n displaystyle operatorname dim C cdot q times n dim D q p displaystyle operatorname dim D cdot q times p x t d x t d t displaystyle dot mathbf x t d mathbf x t over dt x displaystyle x cdot vektor stanu elementi yakogo nazivayut stanami sistemi y displaystyle y cdot vektor vihodu u displaystyle u cdot vektor keruvannya A displaystyle A cdot matricya sistemi B displaystyle B cdot matricya keruvannya C displaystyle C cdot matricya vihodu D displaystyle D cdot matricya pryamogo zv yazku Chasto matricya D displaystyle D cdot ye nulovoyu ce oznachaye sho v sistemi nemaye yavnogo Diskretni sistemi Dlya zapis rivnyan u prostori gruntuyetsya ne na diferencialnih a na riznicevih rivnyannyah x n T T A n T x n T B n T u n T displaystyle mathbf x nT T A nT mathbf x nT B nT mathbf u nT y n T C n T x n T D n T u n T displaystyle mathbf y nT C nT mathbf x nT D nT mathbf u nT Nelinijni sistemi Nelinijnu dinamichnu sistemu n go poryadku mozhna opisati u viglyadi sistemi z n rivnyan 1 go poryadku x 1 f 1 x 1 t x n t u 1 t u m t displaystyle dot x 1 f 1 x 1 t ldots x n t u 1 t ldots u m t displaystyle vdots x n f n x 1 t x n t u 1 t u m t displaystyle dot x n f n x 1 t ldots x n t u 1 t ldots u m t abo v kompaktnishij formi x t f t x t u t displaystyle mathbf dot x t mathbf f t mathbf x t mathbf u t y t h t x t u t displaystyle mathbf y t mathbf h t mathbf x t mathbf u t Pershe rivnyannya ce rivnyannya stanu druge rivnyannya vihodu Linearizaciya U deyakih vipadkah mozhliva linearizaciya opisu dinamichnoyi sistemi dlya okolu robochoyi tochki x u displaystyle mathbf tilde x mathbf tilde u U stalomu rezhimi u c o n s t displaystyle mathbf tilde u const dlya robochoyi tochki x c o n s t displaystyle mathbf tilde x const spravedlivij takij viraz x f x u 0 displaystyle mathbf dot x mathbf f mathbf tilde x mathbf tilde u mathbf 0 Vvodyachi poznachennya d u u u displaystyle delta mathbf u mathbf u mathbf tilde u d x x x displaystyle delta mathbf x mathbf x mathbf tilde x Rozklad rivnyannya stanu f x t u t displaystyle mathbf f mathbf x t mathbf u t v ryad Tejlora obmezhenij pershimi dvoma chlenami daye takij viraz f x t u t f x t u t d f d x d x d f d u d u displaystyle mathbf f mathbf x t mathbf u t approx mathbf f mathbf tilde x t mathbf tilde u t frac delta mathbf f delta mathbf x delta mathbf x frac delta mathbf f delta mathbf u delta mathbf u Pri vzyatti chastkovih pohidnih vektor funkciyi f displaystyle mathbf f za vektorom zminnih staniv x displaystyle mathbf x i vektorom vhidnih vpliviv u displaystyle mathbf u vihodyat matrici Yakobi vidpovidnih sistem funkcij d f d x d f 1 d x 1 d f 1 d x n d f n d x 1 d f n d x n d f d u d f 1 d u 1 d f 1 d u p d f n d u 1 d f n d u p displaystyle frac delta mathbf f delta mathbf x begin bmatrix frac delta mathbf f 1 delta mathbf x 1 amp cdots amp frac delta mathbf f 1 delta mathbf x n vdots amp ddots amp vdots frac delta mathbf f n delta mathbf x 1 amp cdots amp frac delta mathbf f n delta mathbf x n end bmatrix quad frac delta mathbf f delta mathbf u begin bmatrix frac delta mathbf f 1 delta mathbf u 1 amp cdots amp frac delta mathbf f 1 delta mathbf u p vdots amp ddots amp vdots frac delta mathbf f n delta mathbf u 1 amp cdots amp frac delta mathbf f n delta mathbf u p end bmatrix Analogichno dlya funkciyi vihodu d h d x d h 1 d x 1 d h 1 d x n d h q d x 1 d h q d x n d h d u d h 1 d u 1 d h 1 d u p d h q d u 1 d h q d u p displaystyle frac delta mathbf h delta mathbf x begin bmatrix frac delta mathbf h 1 delta mathbf x 1 amp cdots amp frac delta mathbf h 1 delta mathbf x n vdots amp ddots amp vdots frac delta mathbf h q delta mathbf x 1 amp cdots amp frac delta mathbf h q delta mathbf x n end bmatrix quad frac delta mathbf h delta mathbf u begin bmatrix frac delta mathbf h 1 delta mathbf u 1 amp cdots amp frac delta mathbf h 1 delta mathbf u p vdots amp ddots amp vdots frac delta mathbf h q delta mathbf u 1 amp cdots amp frac delta mathbf h q delta mathbf u p end bmatrix Z oglyadu na d x x x x displaystyle delta mathbf dot x mathbf dot x mathbf dot tilde x mathbf dot x linearizovanij opis dinamichnoyi sistemi v okoli robochoyi tochki nabude viglyadu de A d f d x B d f d u C d h d x D d h d u displaystyle mathbf A frac delta mathbf f delta mathbf x quad mathbf B frac delta mathbf f delta mathbf u quad mathbf C frac delta mathbf h delta mathbf x quad mathbf D frac delta mathbf h delta mathbf u PrikladiModel u prostori staniv dlya mayatnika Mayatnik ye klasichnoyu vilnoyu nelinijnoyu sistemoyu Matematichno ruh mayatnika opisuye take spivvidnoshennya m l 8 t m g sin 8 t k l 8 t displaystyle ml ddot theta t mg sin theta t kl dot theta t de 8 t displaystyle theta t kut vidhilennya mayatnika m displaystyle m zvedena masa mayatnika g displaystyle g priskorennya vilnogo padinnya k displaystyle k koeficiyent tertya v pidshipniku pidvisu l displaystyle l dovzhina pidvisu mayatnika U takomu vipadku rivnyannya v prostori staniv matimut viglyad x 1 t x 2 t displaystyle dot x 1 t x 2 t x 2 t g l sin x 1 t k m x 2 t displaystyle dot x 2 t frac g l sin x 1 t frac k m x 2 t de x 1 t 8 t displaystyle x 1 t theta t kut vidhilennya mayatnika x 2 t x 1 t displaystyle x 2 t dot x 1 t kutova shvidkist mayatnika x 2 t x 1 t displaystyle dot x 2 t ddot x 1 t kutove priskorennya mayatnika Zapis rivnyan stanu v zagalnomu viglyadi x t x 1 t x 2 t f t x t x 2 t g l sin x 1 t k m x 2 t displaystyle dot mathbf x t left begin matrix dot x 1 t dot x 2 t end matrix right mathbf f t x t left begin matrix x 2 t frac g l sin x 1 t frac k m x 2 t end matrix right Linearizaciya modeli mayatnika Linearizovana matricya sistemi dlya modeli mayatnika v okoli tochki rivnovagi x 1 0 displaystyle left tilde x 1 0 right maye viglyad d f d x 0 1 g l cos x 1 k m 0 1 g l k m displaystyle frac delta mathbf f delta mathbf x left begin matrix 0 amp 1 frac g l cos tilde x 1 amp frac k m end matrix right left begin matrix 0 amp 1 frac g l amp frac k m end matrix right Za vidsutnosti tertya v pidvisi k 0 otrimayemo rivnyannya ruhu matematichnogo mayatnika x g l x displaystyle ddot x frac g l x Div takozhTeoriya keruvannya Fazovij prostir Sistema vidlikuLiteraturaknigi Andronov A A Leontovich E A Gordon I M Majer A G Teoriya bifurkacij dinamicheskih sistem na ploskosti M Nauka 1967 Andronov A A Teoriya kolebanij 2 e izd pererab i ispr M Nauka 1981 918 s statti Fejgin M I Proyavlenie effektov bifurkacionnoj pamyati v povedenii dinamicheskoj sistemy 30 listopada 2007 ros zhurnal 2001 T 7 3 S 121 127 Posilannya ros