У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).
Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.
Поверхневі інтеграли
Шмат поверхні , заданий у параметричні формі: , , , причому пробігають деяку область площини, називається гладким, якщо різні пари значень дають різні точки , часткові похідні функцій , , неперервні і завжди
- де
Якщо поверхня складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то називається кусково гладкою.
Гладка поверхня називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на , виходячи з будь-якої точки на , повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в . Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.
Площа гладкої поверхні
Хай поверхня задана параметрично: , , , причому і пробігають деяку область площини , . Тоді площа поверхні визначається поверхневим інтегралом
- , де
- ,
- ,
- .
Підінтегральний вираз
називається елементом поверхні.
Якщо задана явно рівнянням , причому пробігають область (проєкцію області на площину ), то:
- , де
- , .
Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду
Поверхневі інтеграли 1-го роду
Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.
Нехай деяка функція визначена і обмежена на гладкій поверхні . Хай позначає деяке розбиття на скінченну кількість елементарних поверхонь (i = 1, 2 …. і) з площами , є найбільшим діаметром елементарних поверхонь і — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке, що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , то називається поверхневим інтегралом 1-го роду від по поверхні і записується
- .
Для окремого випадку підінтегрального виразу
число дає площу поверхні .
Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:
- , , ,
причому та пробігають область площини ,
- .
Якщо поверхня задана явно рівнянням причому пробігають область , то
- .
Аналогічні формули вірні, якщо представлена рівняннями виду чи .
Поверхневі інтеграли 2-го роду
Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні ; на кожній замкнутій кривій на визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.
Нехай в точках поверхні , розташованої однозначно над площиною і заданою явно рівнянням , визначена обмежена функцією . Нехай є розбиття поверхні на скінченну кількість елементарних поверхонь , , — найбільший діаметр елементарних поверхонь, — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні визначає напрям обходу в площині , біля кордону проєкції . Площа цієї проєкції береться із знаком «+», якщо межа проєкції проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).
Число
називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут множиться не на площу (елементарній поверхні а на взяту із знаком площа проєкції поверхні на площину .
Якщо існує число з такою властивістю: для кожного знайдеться таке , що для кожного розбиття з , незалежно від вибору точок , завжди |, то називають поверхневим інтегралом 2-го роду від
- за вибраною стороною і пишуть
- .
Якщо не має взаємно однозначної проєкції на площину , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проєкція, то поверхневий інтеграл по визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.
Якщо має однозначну проєкцію на площину або , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:
- та
- ,
де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проєкцій на площину або .
Нарешті, для трьох функцій , , , визначених на , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:
- .
Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)
1. Нехай поверхня має явне представлення , причому змінюються в області . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні , для якої кут між нормаллю і віссю є гострим, обчислюється так:
Якщо вибрана інша сторона поверхні, то
Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:
де задана рівнянням , — проєкція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю гострий кут. Так само
де задана рівнянням , проєкція на площину , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.
2. Якщо поверхня задана в параметричній формі: , , , то
де
дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області площини відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо
Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду
Якщо , , — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями і , то
тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.
Поверхневий інтеграл
має для різних незамкнутих поверхонь і з однією і тією ж границею у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції
неперервні в однозв'язній просторовій області (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні в обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли
Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла
Об'єм тіла (), обмеженого кусково гладкими поверхнями , можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:
чи
чи
або
при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні .
Центр тяжіння та сила притягання
Якщо поверхня покрита масою з поверхневою густиною , то повна маса поверхні дорівнює
координати центру тяжіння дорівнюють
компоненти сили притягання цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку одиничної маси, дорівнюють
Див. також
Джерела
- Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici poverhne vij integra l ce viznachenij integral kotrij beretsya po poverhni yaka mozhe buti zignutoyu mnozhinoyu v prostori jogo mozhna rozglyadati yak podvijnij integralnij analog linijnogo integralu Z oglyadu na poverhni mozhna integruvati skalyarni polya tobto funkciyi yaki povertayut chisla yak znachennya i vektorni polya tobto funkciyi yaki povertayut vektori yak znachennya Viznachennya poverhnevogo integralu spirayetsya na rozbittya poverhni na mali elementi Poverhnevi integrali mayut zastosuvannya u fizici zokrema v klasichnij teoriyi elektromagnetizmu Poverhnevi integraliShmat poverhni S displaystyle S zadanij u parametrichni formi x x u v displaystyle x x u v y y u v displaystyle y y u v z z u v displaystyle z z u v prichomu u v displaystyle u v probigayut deyaku oblast G displaystyle Gamma ploshini nazivayetsya gladkim yaksho rizni pari znachen u v displaystyle u v dayut rizni tochki S displaystyle S chastkovi pohidni funkcij x x u v displaystyle x x u v y y u v displaystyle y y u v z z u v displaystyle z z u v neperervni i zavzhdi A2 B2 C2 gt 0 displaystyle A 2 B 2 C 2 gt 0 deA y u y v z u z v displaystyle A begin vmatrix partial y over partial u amp partial y over partial v partial z over partial u amp partial z over partial v end vmatrix B z u z v x u x v displaystyle B begin vmatrix partial z over partial u amp partial z over partial v partial x over partial u amp partial x over partial v end vmatrix C x u x v y u y v displaystyle C begin vmatrix partial x over partial u amp partial x over partial v partial y over partial u amp partial y over partial v end vmatrix Yaksho poverhnya S displaystyle S skladayetsya z skinchennogo chisla gladkih kuskiv poverhni to S displaystyle S nazivayetsya kuskovo gladkoyu Gladka poverhnya S displaystyle S nazivayetsya dvostoronnoyu yaksho pri obhodi kozhnoyi zamknutoyi krivoyi na S displaystyle S vihodyachi z bud yakoyi tochki M0 displaystyle M 0 na S displaystyle S povertayemosya v pochatkove polozhennya z napryamom normali vibranim v M0 displaystyle M 0 Obidvi storoni dvostoronnoyi poverhni mozhut buti takim chinom oharakterizovani napryamom vidpovidnih normalej Odnostoronnoyu poverhneyu ye napriklad list Mebiusa Usyudi nadali pid poverhneyu rozumiyetsya dvostoronnya poverhnya Plosha gladkoyi poverhniDokladnishe Plosha poverhni Haj poverhnya S displaystyle S zadana parametrichno x x u v displaystyle x x u v y y u v displaystyle y y u v z z u v displaystyle z z u v prichomu u displaystyle u i v displaystyle v probigayut deyaku oblast G displaystyle Gamma ploshini u displaystyle u v displaystyle v Todi plosha S displaystyle S poverhni viznachayetsya poverhnevim integralom GEG F2dudv displaystyle iint limits Gamma sqrt EG F 2 mathrm d u mathrm d v deE x u 2 y u 2 z u 2 displaystyle E left frac partial x partial u right 2 left frac partial y partial u right 2 left frac partial z partial u right 2 F x u x v y u y v z u z v displaystyle F partial x over partial u partial x over partial v partial y over partial u partial y over partial v partial z over partial u partial z over partial v G x v 2 y v 2 z v 2 displaystyle G left frac partial x partial v right 2 left frac partial y partial v right 2 left frac partial z partial v right 2 Pidintegralnij viraz dS EG F2dudv displaystyle mathrm d S sqrt EG F 2 mathrm d u mathrm d v nazivayetsya elementom poverhni Yaksho S displaystyle S zadana yavno rivnyannyam z ϕ x y displaystyle z phi x y prichomu x y displaystyle x y probigayut oblast S displaystyle S proyekciyu oblasti S displaystyle S na ploshinu x0y displaystyle x0y to S S 1 p2 q2dxdy displaystyle S iint limits S prime sqrt 1 p 2 q 2 mathrm d x mathrm d y dep z x displaystyle p partial z over partial x q z y displaystyle q partial z over partial y Poverhnevi integrali 1 go ta 2 go roduPoverhnevi integrali 1 go rodu Ris 1 Viznachennya poverhnevogo integralu 1 go rodu Nehaj deyaka funkciya f x y z displaystyle f x y z viznachena i obmezhena na gladkij poverhni S displaystyle S Haj Z displaystyle Z poznachaye deyake rozbittya S displaystyle S na skinchennu kilkist elementarnih poverhon Si displaystyle S i i 1 2 i z ploshami DSi displaystyle Delta S i D Z displaystyle Delta Z ye najbilshim diametrom elementarnih poverhon Si displaystyle S i i Mi xi yi zi displaystyle M i x i y i z i dovilna tochka na vidpovidnij elementarnij poverhni Ris 1 Chislo S Z i 1Nf xi yi zi DSi displaystyle S Z sum i 1 N f x i y i z i Delta S i nazivayetsya integralnoyu sumoyu sho vidpovidaye rozbittyu Z displaystyle Z Yaksho isnuye chislo I displaystyle I z takoyu vlastivistyu dlya kozhnogo ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 znajdetsya takeD ϵ gt 0 displaystyle Delta epsilon gt 0 sho dlya kozhnogo rozbittya Z displaystyle Z z D Z lt D displaystyle Delta Z lt Delta nezalezhno vid viboru tochok Mi displaystyle M i S Z I lt D displaystyle S Z I lt Delta to I displaystyle I nazivayetsya poverhnevim integralom 1 go rodu vid f x y z displaystyle f x y z po poverhni S displaystyle S i zapisuyetsya I Sf x y z ds displaystyle I iint limits S f x y z mathrm d s Dlya okremogo vipadku pidintegralnogo virazu f x y z 1 displaystyle f x y z equiv 1 chislo I displaystyle I daye ploshu S displaystyle S poverhni S displaystyle S Obchislennya zvedennya do podvijnogo integrala yaksho poverhnya zadana parametrichno x x u v displaystyle x x u v y y u v displaystyle y y u v z z u v displaystyle z z u v prichomu u displaystyle u ta v displaystyle v probigayut oblast G displaystyle Gamma ploshini u displaystyle u v displaystyle v I Sf x y z ds Gf x u v y u v z u v EG F2dudv displaystyle I iint limits S f x y z mathrm d s iint limits Gamma f x u v y u v z u v sqrt EG F 2 mathrm d u mathrm d v Yaksho poverhnya zadana yavno rivnyannyam z ϕ x y displaystyle z phi x y prichomu x y displaystyle x y probigayut oblast S displaystyle S to I Sf x y z ds S f x y ϕ x y 1 p2 q2 dxdy displaystyle I iint limits S f x y z mathrm d s iint limits S f x y phi x y sqrt 1 p 2 q 2 mathrm d x mathrm d y Analogichni formuli virni yaksho S displaystyle S predstavlena rivnyannyami vidu x ps y z displaystyle x psi y z chi y x x z displaystyle y chi x z Poverhnevi integrali 2 go rodu Ris 2 Oriyentaciya dvostoronnoyi nezamknutoyi poverhni vibirayetsya pevna storona poverhni S displaystyle S na kozhnij zamknutij krivij na S displaystyle S viznachayetsya dodatnij napryam obhodu tak sho vin razom z normallyu vibranoyi storoni utvoryuvav pravu trijku vektoriv Nehaj v tochkah poverhni S displaystyle S roztashovanoyi odnoznachno nad ploshinoyu x y displaystyle x y i zadanoyu yavno rivnyannyam z ϕ x y displaystyle z phi x y viznachena obmezhena funkciyeyu f x y z displaystyle f x y z Nehaj Z displaystyle Z ye rozbittya poverhni S displaystyle S na skinchennu kilkist elementarnih poverhon Si displaystyle S i i 1 2 n displaystyle i 1 2 n DZ displaystyle Delta Z najbilshij diametr elementarnih poverhon Mi xi yi zi displaystyle M i x i y i z i dovilna tochka vibrana na elementarnij poverhni Si displaystyle S i Yaksho vibrana pevna storona poverhni i tim samim oriyentaciya po nij to napryam obhodu mezhi kozhnoyi elementarnoyi poverhni Si displaystyle S i viznachaye napryam obhodu v ploshini x y displaystyle x y bilya kordonu proyekciyi Si displaystyle S i Plosha DSi displaystyle Delta S i ciyeyi proyekciyi beretsya iz znakom yaksho mezha proyekciyi Si displaystyle S i prohoditsya v dodatnomu napryami inakshe iz znakom Ris 2 Chislo S Z i 1Nf xi yi zi DSi displaystyle S Z sum i 1 N f x i y i z i Delta S i nazivayetsya integralnoyu sumoyu sho vidpovidaye rozbittyu Z displaystyle Z Na protivagu utvorennyu integralnih sum poverhnevih integraliv 1 go rodu tut f Mi displaystyle f M i mnozhitsya ne na ploshu DSi displaystyle Delta S i elementarnij poverhni Si displaystyle S i a na vzyatu iz znakom plosha DSi displaystyle Delta S i proyekciyi Si displaystyle S i poverhni Si displaystyle S i na ploshinu x y displaystyle x y Yaksho isnuye chislo I displaystyle I z takoyu vlastivistyu dlya kozhnogo ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 znajdetsya take D ϵ gt 0 displaystyle Delta epsilon gt 0 sho dlya kozhnogo rozbittya Z displaystyle Z z D Z lt D displaystyle Delta Z lt Delta nezalezhno vid viboru tochok Mi displaystyle M i zavzhdi S Z I lt ϵ displaystyle S Z I lt epsilon to I displaystyle I nazivayut poverhnevim integralom 2 go rodu vid f x y z displaystyle f x y z za vibranoyu storonoyu S displaystyle S i pishut Sf x y z dxdy displaystyle iint limits S f x y z mathrm d x mathrm d y Yaksho S displaystyle S ne maye vzayemno odnoznachnoyi proyekciyi na ploshinu x y displaystyle x y ale yiyi mozhna rozbiti na skinchennu kilkist poverhon dlya kozhnoyi z yakih isnuye taka proyekciya to poverhnevij integral po S displaystyle S viznachayetsya yak suma integraliv po okremih poverhnyah Yaksho S displaystyle S maye odnoznachnu proyekciyu na ploshinu y z displaystyle y z abo x z displaystyle x z to mozhna viznachiti analogichno dva inshih poverhnevih integrala 2 go rodu Sf x y z dydz displaystyle iint limits S f x y z mathrm d y mathrm d z ta Sf x y z dzdx displaystyle iint limits S f x y z mathrm d z mathrm d x de u vidpovidnih integralnih sumah stoyat ploshi proyekcij Si displaystyle S i na ploshinu y z displaystyle y z abo x z displaystyle x z Nareshti dlya troh funkcij P x y z displaystyle P x y z Q x y z displaystyle Q x y z R x y z displaystyle R x y z viznachenih na S displaystyle S ci integrali mozhna dodati i viznachiti zagalnishij poverhnevij integral drugogo rodu SPdydz Qdzdx Rdxdy SPdydz SQdzdx SRdxdy displaystyle iint limits S P mathrm d y mathrm d z Q mathrm d z mathrm d x R mathrm d x mathrm d y iint limits S P mathrm d y mathrm d z iint limits S Q mathrm d z mathrm d x iint limits S R mathrm d x mathrm d y Obchislennya poverhnevogo integrala 2 go rodu zvedennya do podvijnogo integrala 1 Nehaj poverhnya S displaystyle S maye yavne predstavlennya z ϕ x y displaystyle z phi x y prichomu x y displaystyle x y zminyuyutsya v oblasti S displaystyle S Todi poverhnevij integral po tij storoni S displaystyle S dlya yakoyi kut mizh normallyu i vissyu z displaystyle z ye gostrim obchislyuyetsya tak Sf x y z dxdy S f x y ϕ x y displaystyle iint limits S f x y z mathrm d x mathrm d y iint limits S f x y phi x y Yaksho vibrana insha storona poverhni to Sf x y z dxdy Sf x y ϕ x y displaystyle iint limits S f x y z mathrm d x mathrm d y iint limits S f x y phi x y Analogichni formuli vihodyat dlya inshih integraliv Sf x y z dydz S f ps y z y z displaystyle iint limits S f x y z mathrm d y mathrm d z iint limits S f psi y z y z de S displaystyle S zadana rivnyannyam x ps y z displaystyle x psi y z S displaystyle S proyekciya S displaystyle S na ploshinu y z displaystyle y z a poverhnevij integral beretsya po tij storoni normal do yakoyi utvoryuye z vissyu x displaystyle x gostrij kut Tak samo Sf x y z dzdx S f x x z x y dzdx displaystyle iint limits S f x y z mathrm d z mathrm d x iint limits S f x chi z x y mathrm d z mathrm d x de S displaystyle S zadana rivnyannyam y x z x displaystyle y chi z x S displaystyle S proyekciya S displaystyle S na ploshinu x z displaystyle x z a poverhnevij integral beretsya po tij storoni normal do yakoyi skladaye z vissyu u gostrij kut 2 Yaksho poverhnya S displaystyle S zadana v parametrichnij formi x x u v displaystyle x x u v y y u v displaystyle y y u v z z u v displaystyle z z u v to Sf x y z dxdy Gf x u v y u v z u v Cdudv displaystyle iint limits S f x y z mathrm d x mathrm d y pm iint limits Gamma f x u v y u v z u v C mathrm d u mathrm d v Sf x y z dydz Gf x u v y u v z u v Adudv displaystyle iint limits S f x y z mathrm d y mathrm d z pm iint limits Gamma f x u v y u v z u v A mathrm d u mathrm d v Sf x y z dzdx Gf x u v y u v z u v Bdudv displaystyle iint limits S f x y z mathrm d z mathrm d x pm iint limits Gamma f x u v y u v z u v B mathrm d u mathrm d v de A y z u v displaystyle A partial y z over partial u v B z x u v displaystyle B partial z x over partial u v C x y u v displaystyle C partial x y over partial u v divis rivnyannya ugori dodatnij znak pered integralom sprava vikoristovuyetsya todi koli oriyentaciya oblasti G displaystyle Gamma ploshini u v displaystyle u v vidpovidaye oriyentaciyi vibranoyi storoni Dlya sumi troh integraliv otrimuyemo SPdydz Qdzdx Rdxdy G PA QB RC dudv displaystyle iint limits S P mathrm d y mathrm d z Q mathrm d z mathrm d x R mathrm d x mathrm d y pm iint limits Gamma PA QB RC mathrm d u mathrm d v Zv yazok mizh poverhnevimi integralami 1 go i 2 go rodu Yaksho a displaystyle alpha b displaystyle beta g displaystyle gamma kuti normali do vibranoyi storoni poverhni z osyami x y displaystyle x y i z displaystyle z to SPdydz Qdzdx Rdxdy S Pcos a Qcos b Rcos g dS displaystyle iint limits S P mathrm d y mathrm d z Q mathrm d z mathrm d x R mathrm d x mathrm d y pm iint limits S P cos alpha Q cos beta R cos gamma mathrm d S tobto poverhnevij integral 2 go rodu sho stoyit zliva peretvoritsya v poverhnevij integral 1 go rodu sho stoyit sprava Ris 3 Poverhnevij integral SPdydz Qdzdx Rdxdy displaystyle iint limits S P mathrm d y mathrm d z Q mathrm d z mathrm d x R mathrm d x mathrm d y maye dlya riznih nezamknutih poverhon S1 displaystyle S 1 i S2 displaystyle S 2 z odniyeyu i tiyeyu zh graniceyu C displaystyle C u zagalnomu vipadku rizni znachennya Ris 3 tobto vin v zagalnomu vipadku ne obertayetsya v nul na zamknutij poverhni analogichno zalezhnosti vid shlyahu krivolinijnogo integrala Yaksho funkciyi P Q R P x Q y R z displaystyle P Q R partial P over partial x partial Q over partial y partial R over partial z neperervni v odnozv yaznij prostorovij oblasti V displaystyle V tobto v oblasti yaka razom z kozhnoyu zamknutoyu poverhneyu mistit takozh i oblast obmezhenu ciyeyu poverhneyu to poverhnevij integral po vsyakij zamknutij poverhni S displaystyle S v V displaystyle V obertayetsya v nul todi i tilki todi koli P x Q y R z 0 displaystyle partial P over partial x partial Q over partial y partial R over partial z 0 Geometrichni i fizichni zastosuvannya poverhnevogo integralaOb yem tila Ob yem V displaystyle V tila V displaystyle V obmezhenogo kuskovo gladkimi poverhnyami S displaystyle S mozhna riznimi sposobami obchisliti yak poverhnevij integral drugogo rodu V Szdxdy displaystyle V iint S z dx dy chi V Sxdydz displaystyle V iint S x dy dz chi V Sydzdx displaystyle V iint S y dz dx abo V 13 Sxdydz ydzdx zdxdy displaystyle V 1 over 3 iint S x dy dz y dz dx z dx dy pri comu integrali slid brati po zovnishnij storoni poverhni S displaystyle S Centr tyazhinnya ta sila prityagannya Yaksho poverhnya S displaystyle S pokrita masoyu z poverhnevoyu gustinoyu d x y z displaystyle delta x y z to povna masa poverhni S displaystyle S dorivnyuye M Sd x y z dS displaystyle M iint S delta x y z dS koordinati 3 h z displaystyle xi eta zeta centru tyazhinnya dorivnyuyut 3 1M Sxd x y z dS displaystyle xi 1 over M iint S x delta x y z dS h 1M Syd x y z dS displaystyle eta 1 over M iint S y delta x y z dS z 1M Szd x y z dS displaystyle zeta 1 over M iint S z delta x y z dS komponenti sili prityagannya F displaystyle F cogo rozpodilu masi sho diye na materialnu tochku M x0 y0 z0 displaystyle M x 0 y 0 z 0 odinichnoyi masi dorivnyuyut Fx g Sx x0r3dS displaystyle F x gamma iint S x x 0 over r 3 dS Fy g Sy y0r3dS displaystyle F y gamma iint S y y 0 over r 3 dS Fz g Sz z0r3dS displaystyle F z gamma iint S z z 0 over r 3 dS g const displaystyle gamma const Div takozhPortal Matematika Integralne chislennya DzherelaBronshtejn I N Semendyaev K A Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchashihsya vtuzov M Nauka 1980 976 s il Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi