Лист Мебіуса

Стрі́чка Ме́біуса чи Смужка Мебіуса (німецька вимова [ˈmøbiʊs]) є поверхнею лише з однією стороною і лише одним краєм. Вона має математичну властивість неорієнтованості. Також вона є лінійчатою поверхнею. Вона була незалежно відкрита німецькими математиками Мебіусом і в 1858 році. Однак відповідні фігури зустрічаються ще у римський мозаїці 200 - 250 років нашої ери.

Римська мозаїка III століття нашої ери із зображенням стрічки Мебіуса, мюнхенська Гліптотека

Її екземпляр легко може бути виготовлений зі смужки паперу, повертаючи один з її кінців на півоберту і з'єднуючи кінці стрічки для створення замкненої поверхні. В евклідовому просторі є два типи стрічок Мебіуса, в залежності від напряму здійсненого півоберту: та . Звідси можна зробити висновок, що стрічка Мебіуса є хіральною.

Рівняння

Параметричний опис стрічки Мебіуса.

Як поверхня в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, стрічка Мебіуса задається системою :

${\displaystyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,}$

${\displaystyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,}$

${\displaystyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},}$

де ${\displaystyle 0\leqslant u<2\pi }$ та ${\displaystyle -1\leqslant v\leqslant 1}$. Ці формули задають стрічку Мебіуса ширини 1, чий центральний круг має радіус 1 та лежить у площині ${\displaystyle Oxy\ (z=0)}$ з центром в точці ${\displaystyle (0,\;0,\;0)}$. Параметр ${\displaystyle u}$ пробігає вздовж стрічки, в той час як ${\displaystyle v}$ задає відстань від краю.

В циліндричних координатах ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;z)}$, необмежена версія листа Мебіуса може бути представлена рівнянням:

${\displaystyle ~\log r\sin(\theta /2)=z\cos(\theta /2),}$

де функція логарифма має довільну основу.

Властивості

Стрічка Мебіуса має цікаві властивості. Якщо спробувати розрізати стрічку по лінії, рівновіддаленій від країв, то замість двох стрічок Мебіуса утвориться одна довга, двостороння, вдвічі більш закручена стрічка. Якщо тепер цю стрічку ще раз так само розрізати, то утворяться дві стрічки, намотані одна на одну.

• Стрічка Мебіуса зроблена зі смужки паперу або стрічки.
• Щоб перетворити прямокутник в стрічку Мебіуса, з'єднайте ребра, позначені "A" так, щоб напрями стрілок збіглися.
• Схема створення стрічки Мебіуса зі стрічки паперу

Символіка

Міжнародний символ переробки.

У 20 столітті бузкова стрічка Мебіуса стала символом немоногамних стосунків та вільного кохання зокрема.

Див. також

• Мебіус (фільм, 1996)
• Перетворення Мебіуса
• Плівка Мебіуса
• Пляшка Кляйна

Примітки

1. Larison, Lorraine L. (1973). The Möbius band in Roman mosaics. American Scientist. 61 (5): 544—547. Bibcode:1973AmSci..61..544L.
2. Cartwright, Julyan H. E.; González, Diego L. (2016). Möbius strips before Möbius: topological hints in ancient representations. The Mathematical Intelligencer. 38 (2): 69—76. arXiv:1609.07779. Bibcode:2016arXiv160907779C. doi:10.1007/s00283-016-9631-8. MR 3507121.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)