Векторні поля

Ве́кторне по́ле — векторнозначна функція, відображення, яке кожній точці даного простору ставить у відповідність вектор. У сучасній диференціальній геометрії розглядається також узагальнення на довільні многовиди (див. векторне розшарування).

Векторне поле утворене векторами (−y, x).

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Поле.

Коли початковий простір — евклідовий (скінченновимірний векторний простір зі скалярним добутком), поняття векторного поля стає наочним, і тоді векторне поле інтерпретується як спосіб завдання рухів деякої динамічної системи: вектор у даній точці описує напрям і швидкість руху точки по фазовій кривій.

Якщо вибрати декартову систему координат, то поле може бути подане як:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\{F_{x}(x,\ y,\ z),\ F_{y}(x,\ y,\ z),\ F_{z}(x,\ y,\ z)\}}$

Математичні операції над векторними полями вивчають у векторному аналізі.

Серед характеристик векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ відрізняють диференційні, що стосуються поведінки поля в окремих точках (дивергенція ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$ і ротор ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} }$), та інтегральні, що описують поле вздовж контуру (циркуляція) або крізь певну поверхню (потік).

Диференційні й інтегральні характеристики векторного поля пов'язані між собою теоремами Гауса — Остроградського та Стокса.

Для поля механічного походження, дивергенція й потік характеризують наявність джерел і стоків у полі, а ротор і циркуляція — обертальну здатність поля.

Чимало фізичних явищ описують за допомогою векторних полів. Наведемо такі приклади:

• Електричне поле;
• Магнітне поле;
• Поле швидкостей потоку рідини чи газу в гідродинаміці.

Див. також

• Силова лінія,
• Похідна Лі,
• Скалярне поле,
• Тензорне поле.

Джерела інформації

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)