Множина Віталі

Множина́ Віта́лі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував 1905 року італійський математик Джузепе Віталі.

Історія

1902 року Анрі Лебег у своїх лекціях «Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives», сформулював теорію міри і гадав, що вона може бути застосована до довільної обмеженої множини. Але поява контрприкладів розвіяла ці сподівання. Побудова таких невимірних множин завжди спирається на аксіому вибору.

Побудова

Введемо відношення еквівалентності ${\displaystyle \sim }$ на відрізку ${\displaystyle [0,\;1]}$:

${\displaystyle x\sim y\quad \iff \quad (x-y)\in \mathbb {Q} }$ (дійсні числа еквівалентні, якщо їх різниця є раціональним числом).

Виберемо із кожного класу еквівалентності по одному елементу (тут ми користуємося аксіомою вибору), отримана множина ${\displaystyle E}$ буде невимірною.

Справді, якщо зсунути множину ${\displaystyle E}$ зліченну кількість разів на всі раціональні числа з відрізка ${\displaystyle [-1,\;1]}$, то об'єднання таких множин буде включати весь відрізок ${\displaystyle [0,\;1]}$ і саме буде включене у відрізок ${\displaystyle [-1,\;2]}$.

Припустимо, що множина ${\displaystyle E}$ має міру Лебега. Тоді можливі 2 випадки:

• Міра ${\displaystyle E}$ дорівнює нулю. Тоді міра відрізка ${\displaystyle [0,\;1]}$ (як зліченного об'єднання множин міри нуль) теж дорівнює нулю, що суперечить визначенню міри.
• Міра ${\displaystyle E}$ більша нуля. Тоді, аналогічно, міра відрізка ${\displaystyle [-1,\;2]}$ буде нескінченною, що знову суперечить визначенню.

В обох випадках приходимо до суперечності. Отже, множина Віталі не має міри Лебега.

Доведення.  

Справді, якщо зсунути цю множину зліченну кількість раз, то вона заповнить весь відрізок: ${\displaystyle E=\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=[0,\;1]}$.

Отже, внаслідок зліченної адитивності міри Лебега ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}$.

Якби у побудованої множини ${\displaystyle \ E}$ була міра, то вона мала б бути не менше нуля.

Нехай ${\displaystyle \ \mu (E)>0}$, при цьому всі ${\displaystyle \ \mu (E_{n})}$ — рівні один одному внаслідок інваріантності міри Лебега. Тоді внаслідок зліченної адитивності міри Лебега ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})>1}$, що неможливо, оскільки ${\displaystyle \mu ([0,\;1])=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})=\mu (E)=1}$.

Тоді нехай ${\displaystyle \ \mu (E)=0}$. Але це також неможливо, оскільки в такому випадку ${\displaystyle \mu ([0,\;1])=\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\mu (E)}$, що суперечить визначенню міри Лебега, бо для відрізка ${\displaystyle [0,\;1]}$ ця міра дорівнює ${\displaystyle 1}$ за визначенням міри Лебега.

Джерела

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)

• Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)