Ма́гма (групоїд) — базова алгебрична структура в абстрактній алгебрі; складається з множини М з однією бінарною операцією M × M → M, яку зазвичай називають множенням. Єдиною вимогою є замкнутість множини щодо заданої операції.
Термін магма запропонував Бурбакі. Термін «групоїд» старіший, його запропонував [en], але в сучасній літературі цим терміном частіше позначають іншу загальноалгебричну структуру — теоретико-категорний групоїд.
Найбільш вивченими типами магм є:
- Права квазігрупа — групоїд, в якому можливе праве ділення, тобто рівняння завжди має єдиний розв'язок
- Квазігрупа — одночасно права й ліва квазігрупи.
- Лупа (петля) — квазігрупа з одиницею (унітарна квазігрупа):
- Напівгрупа — асоціативний групоїд:
- Моноїд — напівгрупа з одиницею (унітарна напівгрупа).
- Група — моноїд з діленням або асоціативна лупа:
Додаткові види магм
Магма (М, *) називається
- унітарною — якщо вона має нейтральний елемент,
- медіалом — якщо виконується xy * uz = xu * yz,
- лівим напів-медіалом — якщо виконується xx * yz = xy * xz,
- правим напів-медіалом — якщо виконується yz * xx = yx * zx,
- напів-медіалом — якщо вона є лівим та правим напів-медіалом одночасно,
- дистрибутивною зліва — якщо виконується x * yz = xy * xz,
- дистрибутивною справа — якщо виконується yz * x = yx * zx,
- автодистрибутивною — якщо вона є дистрибутивною зліва та справа одночасно,
- комутативною — якщо виконується xy = yx,
- ідемпотентною — якщо виконується xx = x,
- юніпотентною — якщо виконується xx = yy,
- нульпотентною — якщо виконується xx * y = yy * x = xx,
- альтернативною — якщо виконується xx * y = x * xy та x * yy = xy * y,
- степенево-альтернативною — якщо підмагма що утвориться буде асоціативною,
- скорочуваною зліва — якщо виконується xy = xz → y = z
- скорочуваною зліва — якщо виконується yx = zx → y = z
- скорочуваною — якщо вона є скорочуваною зліва та справа одночасно,
- напівгрупою — якщо виконується x * yz = xy * z (асоціативність),
- напівгрупою з лівими нулями — якщо виконується x = xy,
- напівгрупою з правими нулями — якщо виконується x = yx,
- напівгрупою з нульовим множенням — якщо виконується xy = uv,
- унарною зліва — якщо виконується xy = xz,
- унарною справа — якщо виконується yx = zx.
Морфізм магм
Морфізм магм — це функція f:M → N, що відображає магму M на магму N, та зберігає бінарну операцію:
де та означають бінарні операції на M та на N відповідно.
Див. також
Література
- Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)
- Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ma gma grupoyid bazova algebrichna struktura v abstraktnij algebri skladayetsya z mnozhini M z odniyeyu binarnoyu operaciyeyu M M M yaku zazvichaj nazivayut mnozhennyam Yedinoyu vimogoyu ye zamknutist mnozhini shodo zadanoyi operaciyi Kubichna gratka algebrichnih struktur vid magmi do grupi Termin magma zaproponuvav Burbaki Termin grupoyid starishij jogo zaproponuvav en ale v suchasnij literaturi cim terminom chastishe poznachayut inshu zagalnoalgebrichnu strukturu teoretiko kategornij grupoyid Najbilsh vivchenimi tipami magm ye Prava kvazigrupa grupoyid v yakomu mozhlive prave dilennya tobto rivnyannya x a b displaystyle x cdot a b zavzhdi maye yedinij rozv yazok a b Q displaystyle forall a b in Q Kvazigrupa odnochasno prava j liva kvazigrupi Lupa petlya kvazigrupa z odiniceyu unitarna kvazigrupa e L a e e a a displaystyle exists e in L a cdot e e cdot a a Napivgrupa asociativnij grupoyid a b c a b c displaystyle a cdot b cdot c a cdot b cdot c Monoyid napivgrupa z odiniceyu unitarna napivgrupa Grupa monoyid z dilennyam abo asociativna lupa a a 1 a a 1 a 1 a e displaystyle forall a exists a 1 a cdot a 1 a 1 cdot a e Dodatkovi vidi magmMagma M nazivayetsya unitarnoyu yaksho vona maye nejtralnij element medialom yaksho vikonuyetsya xy uz xu yz livim napiv medialom yaksho vikonuyetsya xx yz xy xz pravim napiv medialom yaksho vikonuyetsya yz xx yx zx napiv medialom yaksho vona ye livim ta pravim napiv medialom odnochasno distributivnoyu zliva yaksho vikonuyetsya x yz xy xz distributivnoyu sprava yaksho vikonuyetsya yz x yx zx avtodistributivnoyu yaksho vona ye distributivnoyu zliva ta sprava odnochasno komutativnoyu yaksho vikonuyetsya xy yx idempotentnoyu yaksho vikonuyetsya xx x yunipotentnoyu yaksho vikonuyetsya xx yy nulpotentnoyu yaksho vikonuyetsya xx y yy x xx alternativnoyu yaksho vikonuyetsya xx y x xy ta x yy xy y stepenevo alternativnoyu yaksho pidmagma sho utvoritsya bude asociativnoyu skorochuvanoyu zliva yaksho vikonuyetsya xy xz y z skorochuvanoyu zliva yaksho vikonuyetsya yx zx y z skorochuvanoyu yaksho vona ye skorochuvanoyu zliva ta sprava odnochasno napivgrupoyu yaksho vikonuyetsya x yz xy z asociativnist napivgrupoyu z livimi nulyami yaksho vikonuyetsya x xy napivgrupoyu z pravimi nulyami yaksho vikonuyetsya x yx napivgrupoyu z nulovim mnozhennyam yaksho vikonuyetsya xy uv unarnoyu zliva yaksho vikonuyetsya xy xz unarnoyu sprava yaksho vikonuyetsya yx zx Morfizm magmMorfizm magm ce funkciya f M N sho vidobrazhaye magmu M na magmu N ta zberigaye binarnu operaciyu f x M y f x N f y displaystyle f x M y f x N f y de M displaystyle M ta N displaystyle N oznachayut binarni operaciyi na M ta na N vidpovidno Div takozhUniversalna algebraLiteraturaKurosh A G Obshaya algebra M Mir 1970 162 s ros Universalnaya algebra Moskva Mir 1968 351 s ros