Конциклічні точки (або гомоциклічні точки) — точки, що лежать на одному колі. Три точки на площині, що не лежать на одній прямій, завжди лежать на одному колі, тому іноді термін «конциклічні» застосовують тільки до наборів з 4 або більше точок.
Серединні перпендикуляри
У загальному випадку центр O кола, на якому лежать точки P і Q, має бути таким, щоб відстані OP і OQ були рівними. Тому точка O має лежати на серединному перпендикулярі (або на медіатрисі) відрізка PQ. Необхідною і достатньою умовою того, щоб n різних точок лежали на одному колі є те, що n(n − 1)/2 медіатрис відрізків, які з кінцями в будь-яких парах з n точок, всі одночасно перетиналися в одній точці, а саме: в центрі O.
Вписані многокутники
Трикутники
Вершини кожного трикутника лежать на колі. Коло, що проходить через 3 вершини трикутника, називається описаним колом трикутника. Кілька інших наборів точок, які визначаються з трикутника, також лежать на одному колі, тобто є конциклічними точками; див. Коло дев'яти точок і коло Лестер.
Радіус кола, на якому міститься множина точок, за визначенням, є радіусом описаного кола будь-якого трикутника з вершинами в будь-яких трьох з цих точок. Якщо попарні відстані між будь-якими трьома з цих точок a, b і c, то радіус кола дорівнює
Рівняння описаного кола для трикутника, і вираз для радіуса і координат центру кола через декартові координати вершин наведено тут.
Чотирикутники
Чотирикутник ABCD з вершинами, що лежать на одному колі, називається вписаним; це буває тоді і тільки тоді, коли (за теоремою про кут, вписаний у коло), що виконується тоді і тільки тоді, коли протилежні кути чотирикутника доповнюють один одного до 180°. Вписаний чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d і півпериметром s = (a+b+c+d)/2 має радіус описаного кола, рівний
Цей вираз отримав індійський математик [en] в XV столітті.
За теоремою Птолемея, чотирикутник, заданий попарними відстанями між його чотирма вершинами A, B, C і D відповідно, буде вписаним тоді і тільки тоді, коли добуток його діагоналей дорівнює сумі добутків протилежних сторін:
Якщо дві прямі, одна з яких містить відрізок AC, а інша містить відрізок BD, перетинаються в одній точці «Х», то ці чотири точки A, B, C, D є конциклічними точками тоді і тільки тоді, коли
Точка перетину X може бути як всередині, так і поза описаним колом. Ця теорема відома як теорема про степінь точки.
n-кутники
У загальному випадку n-кутник, усі вершини якого лежать на одному колі, називається вписаним многокутником. Многокутник є вписаним многокутником, якщо і тільки якщо всі серединні перпендикуляри його сторін перетинаються в одній точці.
Примітки
- Ефремов, 1902, с. 34.
- Libeskind, Shlomo (2008), , Jones & Bartlett Learning, с. 21, ISBN , архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021/
- Elliott, John (1902), , Swan Sonnenschein & co., с. 126, архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- Isaacs, I. Martin (2009), , Pure and Applied Undergraduate Texts, т. 8, American Mathematical Society, с. 63, ISBN , архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- Yiu, Paul (2010), (PDF), Forum Geometricorum, 10: 175—209, MR 2868943, архів оригіналу (PDF) за 7 жовтня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- Pedoe, Dan (1997), , MAA Spectrum (вид. 2nd), Cambridge University Press, с. xxii, ISBN , архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
- Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147—9, архів оригіналу (PDF) за 11 липня 2021, процитовано 7 липня 2021
- Hoehn, Larry (March 2000), Circumradius of a cyclic quadrilateral, Mathematical Gazette, 84 (499): 69—70, JSTOR 3621477
- Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, с. 179, ISBN , OCLC 213434422
- Byer, Owen; Lazebnik, Felix; Smeltzer, Deirdre L. (2010), , Mathematical Association of America, с. 77, ISBN , архів оригіналу за 9 липня 2021, процитовано 7 липня 2021.
Література
- Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Konciklichni tochki abo gomociklichni tochki tochki sho lezhat na odnomu koli Tri tochki na ploshini sho ne lezhat na odnij pryamij zavzhdi lezhat na odnomu koli tomu inodi termin konciklichni zastosovuyut tilki do naboriv z 4 abo bilshe tochok Seredinni perpendikulyari provedeni do hord kola sho z yednuyut rizni pari troh konciklichnih tochok peretinayutsya v centri Chotiri konciklichni tochki yaki ye storonami vpisanogo v kolo chotirikutnika Na risunku pokazano dva rivnih kutiSeredinni perpendikulyariU zagalnomu vipadku centr O kola na yakomu lezhat tochki P i Q maye buti takim shob vidstani OP i OQ buli rivnimi Tomu tochka O maye lezhati na seredinnomu perpendikulyari abo na mediatrisi vidrizka PQ Neobhidnoyu i dostatnoyu umovoyu togo shob n riznih tochok lezhali na odnomu koli ye te sho n n 1 2 mediatris vidrizkiv yaki z kincyami v bud yakih parah z n tochok vsi odnochasno peretinalisya v odnij tochci a same v centri O Vpisani mnogokutnikiTrikutniki Vershini kozhnogo trikutnika lezhat na koli Kolo sho prohodit cherez 3 vershini trikutnika nazivayetsya opisanim kolom trikutnika Kilka inshih naboriv tochok yaki viznachayutsya z trikutnika takozh lezhat na odnomu koli tobto ye konciklichnimi tochkami div Kolo dev yati tochok i kolo Lester Radius kola na yakomu mistitsya mnozhina tochok za viznachennyam ye radiusom opisanogo kola bud yakogo trikutnika z vershinami v bud yakih troh z cih tochok Yaksho poparni vidstani mizh bud yakimi troma z cih tochok a b i c to radius kola dorivnyuye R a 2 b 2 c 2 a b c a b c a b c a b c displaystyle R sqrt frac a 2 b 2 c 2 a b c a b c a b c a b c Rivnyannya opisanogo kola dlya trikutnika i viraz dlya radiusa i koordinat centru kola cherez dekartovi koordinati vershin navedeno tut Chotirikutniki Chotirikutnik ABCD z vershinami sho lezhat na odnomu koli nazivayetsya vpisanim ce buvaye todi i tilki todi koli C A D C B D displaystyle angle CAD angle CBD za teoremoyu pro kut vpisanij u kolo sho vikonuyetsya todi i tilki todi koli protilezhni kuti chotirikutnika dopovnyuyut odin odnogo do 180 Vpisanij chotirikutnik z poslidovnimi storonami a b c d i pivperimetrom s a b c d 2 maye radius opisanogo kola rivnij R 1 4 a b c d a c b d a d b c s a s b s c s d displaystyle R frac 1 4 sqrt frac ab cd ac bd ad bc s a s b s c s d Cej viraz otrimav indijskij matematik en v XV stolitti Za teoremoyu Ptolemeya chotirikutnik zadanij poparnimi vidstanyami mizh jogo chotirma vershinami A B C i D vidpovidno bude vpisanim todi i tilki todi koli dobutok jogo diagonalej dorivnyuye sumi dobutkiv protilezhnih storin A C B D A B C D B C A D displaystyle AC cdot BD AB cdot CD BC cdot AD Yaksho dvi pryami odna z yakih mistit vidrizok AC a insha mistit vidrizok BD peretinayutsya v odnij tochci H to ci chotiri tochki A B C D ye konciklichnimi tochkami todi i tilki todi koli A X X C B X X D displaystyle displaystyle AX cdot XC BX cdot XD Tochka peretinu X mozhe buti yak vseredini tak i poza opisanim kolom Cya teorema vidoma yak teorema pro stepin tochki n kutniki U zagalnomu vipadku n kutnik usi vershini yakogo lezhat na odnomu koli nazivayetsya vpisanim mnogokutnikom Mnogokutnik ye vpisanim mnogokutnikom yaksho i tilki yaksho vsi seredinni perpendikulyari jogo storin peretinayutsya v odnij tochci PrimitkiEfremov 1902 s 34 Libeskind Shlomo 2008 Jones amp Bartlett Learning s 21 ISBN 9780763743666 arhiv originalu za 9 lipnya 2021 procitovano 7 lipnya 2021 Elliott John 1902 Swan Sonnenschein amp co s 126 arhiv originalu za 9 lipnya 2021 procitovano 7 lipnya 2021 Isaacs I Martin 2009 Pure and Applied Undergraduate Texts t 8 American Mathematical Society s 63 ISBN 9780821847947 arhiv originalu za 9 lipnya 2021 procitovano 7 lipnya 2021 Yiu Paul 2010 PDF Forum Geometricorum 10 175 209 MR 2868943 arhiv originalu PDF za 7 zhovtnya 2021 procitovano 7 lipnya 2021 Pedoe Dan 1997 MAA Spectrum vid 2nd Cambridge University Press s xxii ISBN 9780883855188 arhiv originalu za 9 lipnya 2021 procitovano 7 lipnya 2021 Alsina Claudi Nelsen Roger B 2007 PDF Forum Geometricorum 7 147 9 arhiv originalu PDF za 11 lipnya 2021 procitovano 7 lipnya 2021 Hoehn Larry March 2000 Circumradius of a cyclic quadrilateral Mathematical Gazette 84 499 69 70 JSTOR 3621477 Bradley Christopher J 2007 The Algebra of Geometry Cartesian Areal and Projective Co Ordinates Highperception s 179 ISBN 1906338000 OCLC 213434422 Byer Owen Lazebnik Felix Smeltzer Deirdre L 2010 Mathematical Association of America s 77 ISBN 9780883857632 arhiv originalu za 9 lipnya 2021 procitovano 7 lipnya 2021 LiteraturaEfremov Dm Novaya geometriya treugolnika Odessa 1902