В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються (індексом підгрупи).
Означення
Нехай — деяка група,
— її підгрупа. Множину
називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі
для елемента
,
називають правостороннім класом суміжності по підгрупі
для елемента
.
Приклад
Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатне ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.
Властивості
тоді і лише тоді коли
- Справді оскільки
то також
З іншої сторони рівняння
де
завжди має розв'язок
- Якщо :
то тоді
- Справді нехай
Тоді:
де остання рівність випливає з попередньої властивості.
- Якщо:
тоді
- Припустимо
Тоді:
і оскільки
то також
;
- З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:
якщо
Справді маємо звідки:
і
- Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
- Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.
Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:
- Кількості правих і лівих класів суміжності ((індекс підгрупи), позначається
) рівні між собою і виконується рівність:
. (теорема Лагранжа).
Примітки
- Joshi p. 323
- Joshi, K. D. (1989). §5.2 Cosets of Subgroups. Foundations of Discrete Mathematics. New Age International. с. 322 ff. ISBN .
Див. також
Література
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет