Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел . Будь-яке квадратичне поле має вигляд , де , тобто одержується приєднанням до поля елемента .
, де . Тому будь-яке квадратичне поле має вид , де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.
При d > 0 поле називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля тобто базис кільця цілих чисел поля над кільцем цілих раціональних чисел , можна взяти
- при ;
- при .
Дискримінант D поля рівний відповідно d при і 4d при .
Група одиниць
Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім ) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:
- порядок 4 для і твірну ,
- порядок 6 для і твірну ,
- порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.
Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку де — група порядку 2, породжена числом -1, і — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею . Наприклад, для поля
Розклад простих ідеалів
Закон розкладу простих ідеалів в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо р — просте число і (D, p) = 1, то ідеал простий в при , і розпадається в добуток двох простих ідеалів при . Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.
Група класів ідеалів квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при . Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. ). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.
Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.
Див. також
Література
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
- Боревич 3. И. Шафаревич. И. Р. Теория чисел. — М., 1985.
- Вейль А. Основы теории чисел = Basic number theory. — Москва : Мир, 1972. — 408 с.(рос.)
- Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.:Л., 1940.
- Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kvadratichne pole rozshirennya stepenya 2 polya racionalnih chisel Q displaystyle mathbb Q Bud yake kvadratichne pole maye viglyad Q d displaystyle mathbb Q sqrt d de d Q d Q displaystyle d in mathbb Q sqrt d notin mathbb Q tobto oderzhuyetsya priyednannyam do polya Q displaystyle mathbb Q elementa d displaystyle sqrt d Q d 1 Q d 2 d 1 c 2 d 2 displaystyle mathbb Q sqrt d 1 mathbb Q sqrt d 2 iff d 1 c 2 d 2 de c Q displaystyle c in mathbb Q Tomu bud yake kvadratichne pole maye vid Q d displaystyle mathbb Q sqrt d de d cile racionalne chislo vilne vid kvadrativ sho odnoznachno viznachayetsya cim polem Nadali d vvazhayetsya same takim Pri d gt 0 pole Q d displaystyle mathbb Q sqrt d nazivayetsya dijsnim kvadratichnim polem a pri d lt 0 uyavnim polem Yak fundamentalnij bazis polya Q d displaystyle mathbb Q sqrt d tobto bazis kilcya cilih chisel polya Q d displaystyle mathbb Q sqrt d nad kilcem cilih racionalnih chisel Z displaystyle mathbb Z mozhna vzyati 1 1 d 2 displaystyle left 1 frac 1 sqrt d 2 right pri d 1 mod 4 displaystyle d equiv 1 pmod 4 1 d displaystyle left 1 sqrt d right pri d 2 3 mod 4 displaystyle d equiv 2 3 pmod 4 Diskriminant D polya Q d displaystyle mathbb Q sqrt d rivnij vidpovidno d pri d 1 mod 4 displaystyle d equiv 1 pmod 4 i 4d pri d 2 3 mod 4 displaystyle d equiv 2 3 pmod 4 Grupa odinicUyavni kvadratichni polya yedinij tip poliv okrim Q displaystyle mathbb Q iz skinchennoyu grupoyu odinic tobto grupoyu oborotnih elementiv kilcya cilih chisel polya Cya grupa maye poryadok 4 dlya Q 1 displaystyle mathbb Q sqrt 1 i tvirnu 1 displaystyle sqrt 1 poryadok 6 dlya Q 3 displaystyle mathbb Q sqrt 3 i tvirnu 1 2 3 2 displaystyle left frac 1 2 frac sqrt 3 2 right poryadok 2 i tvirnu 1 dlya vsih inshih uyavnih kvadratichnih poliv Dlya dijsnih kvadratichnih poliv grupa odinic izomorfna pryamomu dobutku 1 ϵ displaystyle pm 1 times epsilon de 1 displaystyle pm 1 grupa poryadku 2 porodzhena chislom 1 i ϵ displaystyle epsilon neskinchenna ciklichna grupa porodzhena osnovnoyu odiniceyu ϵ displaystyle epsilon Napriklad dlya polya Q d ϵ 1 2 displaystyle mathbb Q sqrt d epsilon 1 sqrt 2 Rozklad prostih idealivZakon rozkladu prostih idealiv v kvadratichnomu poli dopuskaye proste formulyuvannya polyu Q d displaystyle mathbb Q sqrt d mozhna zistaviti simvol Kronekera Yakobi Yaksho r proste chislo i D p 1 to ideal p p O Q d displaystyle p pO mathbb Q sqrt d prostij v O Q d displaystyle O mathbb Q sqrt d pri D p 1 displaystyle left frac D p right 1 i rozpadayetsya v dobutok dvoh prostih idealiv pri D p 1 displaystyle left frac D p right 1 Yaksho D dilitsya na r to p ye kvadratom deyakogo prostogo ideala Grupa klasiv idealiv kvadratichnogo polya vivchena krashe nizh dlya inshih klasiv poliv U razi uyavnih kvadratichnih poliv pokazuye sho chislo klasiv idealiv pryamuye do neskinchennosti pri d displaystyle d to infty Ye rivno 9 odnoklasnih uyavnih kvadratichnih poliv a same pri d 1 2 3 7 11 19 43 67 163 div Dlya dijsnih kvadratichnih poliv nevidomo chi ye skinchennoyu mnozhina odnoklasnih poliv Isnuye neskinchenno bagato kvadratichnih poliv yak uyavnih tak i dijsnih chislo klasiv yakih dilitsya na dane naturalne chislo Div takozhGausovi chislaLiteraturaAjerlend K Rouzen M Klassicheskoe vvedenie v sovremennuyu teoriyu chisel Moskva Mir 1987 416 s ros Borevich 3 I Shafarevich I R Teoriya chisel M 1985 Vejl A Osnovy teorii chisel Basic number theory Moskva Mir 1972 408 s ros Gekke E Lekcii po teorii algebraicheskih chisel M L 1940 Algebraicheskaya teoriya chisel Pod red Kasselsa Dzh Freliha A M 1969 Chandrasekharan K Vvedenie v analiticheskuyu teoriyu chisel Moskva Mir 1974 187 s ros