Зоногон — центрально-симетричний опуклий багатокутник.
Еквівалентні визначення
- Зоногон — опуклий багатокутник з парною кількістю сторін, які можна розбити на пари рівних і паралельних. Насправді, достатньо вимагати істинність обох умов для всіх пар сторін, крім однієї — для неї умова вже буде наслідком, що неважко довести за індукцією за кількістю сторін багатокутника. Однак пара сторін, паралельність і рівність яких не постулюється, обов'язково повинна бути однією і тією ж для обох умов, інакше багатокутник вже не обов'язково буде зоногоном: приклад багатокутника, який не є зоногоном, у якому протилежні сторони лише однієї пари не паралельні і протилежні сторони лише однієї пари не рівні, зображений на рисунку.
- Зоногон — опуклий багатокутник з парною кількістю сторін, у якого всі протилежні сторони і кути рівні.
- Зоногон — сума Мінковського скінченного числа відрізків на площині. Кількість сторін отриманого зоногона дорівнює подвоєній кількості відрізків.
- Зоногон — межа проєкції на площину гіперкуба певної розмірності. Це визначення можна отримати з попереднього, користуючись тим фактом, що гіперкуб є сумою Мінковського своїх ребер, які виходять з однієї вершини, і тим, що проєкція суми Мінковського відрізків (як і будь-яких інших множин) є сумою Мінковського їхніх проєкцій. За розмірності гіперкуба отриманий зоногон має рівно сторін у загальному випадку і не більше сторін у будь-якому випадку. Важливо, що гіперкуб розмірності не обов'язково повинен проєктуватися з -вимірного простору на площину, що міститься в цьому просторі: наприклад, проєктуючи куб з ребром з тривимірного простору на площину, що міститься в ньому, можна отримати фігуру з діаметром менше , оскільки такий діаметр вписаної сфери куба, чия проєкція є колом діаметра і міститься всередині проєкції самого куба за будь-якого його положення, а ось ортогональна проєкція куба такого самого розміру з вершинами з п'ятивимірного простору на площину, утворену усіма точками вигляду , складається взагалі з однієї точки — . Це уточнення впливає не тільки на розмір одержуваних зоногонів — деякі зоногони з точністю до подібності можна отримати тільки проєктуванням гіперкуба на площину з простору більшої розмірності, ніж розмірність самого гіперкуба.
Часткові випадки
- Паралелограм — чотирикутник, що є зоногоном. Зокрема, зоногони — це ромб, прямокутник та квадрат.
- Правильний багатокутник з парною кількістю сторін є зоногоном.
Властивості
- Узагальнення : ніякий зоногон не можна розрізати на непарну кількість рівних за площею трикутників. Цей факт довів той самий після основної теореми.
- Максимальна кількість пар вершин, які можуть міститись на однакових відстанях, у зоногоні з сторонами дорівнює . Існують зоногони з кількістю таких пар, рівною (див. «O» велике і «o» мале).
- Будь-який строго опуклий зоногон з сторонами можна розбити на паралелограмів, причому серед них завжди на кожну пару можливих напрямків сторін зоногона припадатиме рівно один паралелограм з такими самими напрямками сторін. Кількості таких можливих розбиттів для зоногонів з будь-якими кількостями сторін дає послідовність A006245 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.
- Для будь-якого довільного розбиття зоногона на паралелограми (в будь-якій можливій їх кількості) знайдеться принаймні три вершини зоногона, кожна з яких належить лише одному з паралелограмів.
Способи зменшення кількості сторін
Зазначені способи можна застосувати в індукції за кількістю сторін зоногона для доведення наведених вище еквівалентних визначень і властивостей.
- Відсікання вершин — за допомогою нього, наприклад, легко доводиться еквівалентність головного визначення другому визначенню з розділу з еквівалентними визначеннями.
- Відсікання смуг паралелограмів — крім іншого, його можна використати для доведення властивостей вище, пов'язаних з розбиттям зоногонів на паралелограми повністю.
Замощення площини зоногонами
Усі зоногони з кількістю вершин, більшою від чотирьох, у замощеннях нижче можна розбити на зоногони з меншою кількістю вершин за допомогою розсікання шарів паралелограмів, показаного на одному з малюнків вище. Також ці паралелограми можна видалити із замощення, що буде рівносильно «складанню» зоногонів у певному напрямку.
Замощення одним типом зоногонів
Чотирикутник і шестикутники, які є зоногонами, є також паралелогонами і допускають замощення площини власними копіями, отриманими тільки за допомогою паралельного перенесення.
Замощення площини одним типом зоногонів | |
---|---|
Замощення чотирикутними зоногонами | Замощення шестикутними зоногонами |
Замощення двома типами зоногонів
Такі замощення є свого роду зрізаними замощеннями площини паралелограмами (чотирикутними зоногонами) по ребрах і по вершинах відповідно.
Замощення площин двома типами зоногонів | |
---|---|
Замощення чотирикутними і шестикутними зоногонами | Замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами |
Деякі інші замощення
Замощення площини декількома типами зоногонів, включно з восьмикутними, отримані з замощень площини одним типом зоногонів | |
---|---|
Замощення чотирикутними і восьмиукутними зоногонами | Замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами |
Каркаси | |
Замощення | |
У загальному випадку восьмикутний зоногон задає два подібних замощення. | У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення. |
Замощення площини чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами, отримані з замощень попередньої таблиці | |
---|---|
Замощення, отримане з замощення чотирикутними і восьмикутними зоногонами | Замощення, отримане з замощення чотирикутними, шестикутними і восьмикутними зоногонами |
Каркаси | |
Замощення | |
У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення (двома способами можна з'єднувати самі восьмикутники, а ще двома для кожного розташування восьмикутників згрупувати решту частини площини в чотирикутники і шестикутники). | У загальному випадку восьмикутний зоногон задає чотири подібних замощення, як і у випадку зліва. У цій мозаїці, на відміну від тієї, що зліва, чотирикутники, які беруть участь у заповненні дірок у «кільцях» з восьми восьмикутників, збігаються з чотирикутниками, які заповнюють дірки в «кільцях» з чотирьох восьмикутників — цей факт ілюструє можливість двоякого заповнення «кілець» з восьми восьмикутників (у другому варіанті їх чотирикутники збігалися б з чотирикутниками з «кілець» з шести восьмикутників). |
Деякі способи «розсування» замощень
Замощення можна «розсунути» вздовж періодичних розрізів між багатокутниками, а отримані щілини можна заповнити смугами, наведеними нижче.
Способи з рівномірним чергуванням сторін | ||
---|---|---|
Період 1 | ||
Період 2 | ||
Період 3 | ||
Період 4 | За допомогою цієї смуги ліве замощення з першої таблиці попереднього розділу можна перетворити на праве замощення тієї ж таблиці. |
Способи зі сторонами, зустрічаються з різною частотою | ||
---|---|---|
Період 4 | На межі цієї смуги один тип сторін зустрічається в два рази частіше, ніж будь-який з інших двох. |
Узагальнення
- Зоноедр (зонотоп) — багатогранник, який є узагальненням зоногона для тривимірного простору та просторів більшої розмірності. Іноді під зоноедром мають на увазі тільки тривимірний багатогранник, а під зонотопом — багатогранник довільної розмірності.
- Можна розглядати центрально-симетричний багатокутник, що не є опуклим і навіть несамоперетинним. При цьому для нього будуть істинними тільки два перших визначення з розділу Еквівалентні визначення відповідно до прибраних вимог опуклості. У певному сенсі такі багатокутники з невеликою кількістю сторін все ще будуть допускати замощення площини.
Примітки
- (1990), A conjecture of Stein on plane dissections, Mathematische Zeitschrift, 205 (4): 583—592, doi:10.1007/BF02571264, MR 1082876
- ; Szabó, Sandor (1994), Algebra and Tiling: Homomorphisms in the Service of Geometry, Carus Mathematical Monographs, т. 25, Cambridge University Press, p. 130, ISBN
- Young, John Wesley; Schwartz, Albert John (1915), , H. Holt, с. 121, архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020,
If a regular polygon has an even number of sides, its center is a center of symmetry of the polygon
- (2014), , Springer, с. 28, ISBN , архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020
- Andreescu, Titu; Feng, Zuming (2000), , Cambridge University Press, с. 125, ISBN , архів оригіналу за 18 березня 2022, процитовано 23 грудня 2020
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zonogon centralno simetrichnij opuklij bagatokutnik Priklad zonogona z vismoma storonami Pravoruch u nomu provedeno diagonali yaki z yednuyut simetrichni vidnosno centru vershini Ekvivalentni viznachennyaBagatokutnik ne ye zonogonom ale maye lishe odnu paru ne paralelnih storin i lishe odnu paru ne rivnih storin Punktirom pokazana storona zonogona yakij vijde yaksho dodati bud yaku z umov Zonogon na malyunku ye sumoyu Minkovskogo pomaranchevih vidrizkiv do bud yakoyi jogo tochki isnuye shlyah z vektoriv podibnih fioletovim sho lezhat na cih vidrizkah Voni ne obov yazkovo povinni mati spilnu vershinu yak na malyunku oskilki suma Minkovskogo mnozhin ne zalezhit vid yih paralelnogo perenesennya Mezha proyekciyi na ploshinu chotirivimirnogo giperkuba utvoryuye v zagalnomu vipadku zonogon z vismoma storonami Zonogon opuklij bagatokutnik z parnoyu kilkistyu storin yaki mozhna rozbiti na pari rivnih i paralelnih Naspravdi dostatno vimagati istinnist oboh umov dlya vsih par storin krim odniyeyi dlya neyi umova vzhe bude naslidkom sho nevazhko dovesti za indukciyeyu za kilkistyu storin bagatokutnika Odnak para storin paralelnist i rivnist yakih ne postulyuyetsya obov yazkovo povinna buti odniyeyu i tiyeyu zh dlya oboh umov inakshe bagatokutnik vzhe ne obov yazkovo bude zonogonom priklad bagatokutnika yakij ne ye zonogonom u yakomu protilezhni storoni lishe odniyeyi pari ne paralelni i protilezhni storoni lishe odniyeyi pari ne rivni zobrazhenij na risunku Zonogon opuklij bagatokutnik z parnoyu kilkistyu storin u yakogo vsi protilezhni storoni i kuti rivni Zonogon suma Minkovskogo skinchennogo chisla vidrizkiv na ploshini Kilkist storin otrimanogo zonogona dorivnyuye podvoyenij kilkosti vidrizkiv Zonogon mezha proyekciyi na ploshinu giperkuba pevnoyi rozmirnosti Ce viznachennya mozhna otrimati z poperednogo koristuyuchis tim faktom sho giperkub ye sumoyu Minkovskogo svoyih reber yaki vihodyat z odniyeyi vershini i tim sho proyekciya sumi Minkovskogo vidrizkiv yak i bud yakih inshih mnozhin ye sumoyu Minkovskogo yihnih proyekcij Za rozmirnosti giperkuba n displaystyle n otrimanij zonogon maye rivno 2n displaystyle 2n storin u zagalnomu vipadku i ne bilshe 2n displaystyle 2n storin u bud yakomu vipadku Vazhlivo sho giperkub rozmirnosti n displaystyle n ne obov yazkovo povinen proyektuvatisya z n displaystyle n vimirnogo prostoru na ploshinu sho mistitsya v comu prostori napriklad proyektuyuchi kub z rebrom 2 displaystyle 2 z trivimirnogo prostoru na ploshinu sho mistitsya v nomu mozhna otrimati figuru z diametrom menshe 2 displaystyle 2 oskilki takij diametr vpisanoyi sferi kuba chiya proyekciya ye kolom diametra 2 displaystyle 2 i mistitsya vseredini proyekciyi samogo kuba za bud yakogo jogo polozhennya a os ortogonalna proyekciya kuba takogo samogo rozmiru z vershinami 0 0 1 1 1 displaystyle 0 0 pm 1 pm 1 pm 1 z p yativimirnogo prostoru na ploshinu utvorenu usima tochkami viglyadu x y 0 0 0 displaystyle x y 0 0 0 skladayetsya vzagali z odniyeyi tochki 0 0 0 0 0 displaystyle 0 0 0 0 0 Ce utochnennya vplivaye ne tilki na rozmir oderzhuvanih zonogoniv deyaki zonogoni z tochnistyu do podibnosti mozhna otrimati tilki proyektuvannyam giperkuba na ploshinu z prostoru bilshoyi rozmirnosti nizh rozmirnist samogo giperkuba Chastkovi vipadkiParalelogram chotirikutnik sho ye zonogonom Zokrema zonogoni ce romb pryamokutnik ta kvadrat Pravilnij bagatokutnik z parnoyu kilkistyu storin ye zonogonom VlastivostiUzagalnennya niyakij zonogon ne mozhna rozrizati na neparnu kilkist rivnih za plosheyu trikutnikiv Cej fakt doviv toj samij pislya osnovnoyi teoremi Maksimalna kilkist par vershin yaki mozhut mistitis na odnakovih vidstanyah u zonogoni z n displaystyle n storonami dorivnyuye 2n 3 displaystyle 2n 3 Isnuyut zonogoni z kilkistyu takih par rivnoyu 2n O n displaystyle 2n O sqrt n div O velike i o male Bud yakij strogo opuklij zonogon z 2n displaystyle 2n storonami mozhna rozbiti na n2 n n 1 2 displaystyle binom n 2 frac n n 1 2 paralelogramiv prichomu sered nih zavzhdi na kozhnu paru mozhlivih napryamkiv storin zonogona pripadatime rivno odin paralelogram z takimi samimi napryamkami storin Kilkosti takih mozhlivih rozbittiv dlya zonogoniv z bud yakimi kilkostyami storin daye poslidovnist A006245 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Dlya bud yakogo dovilnogo rozbittya zonogona na paralelogrami v bud yakij mozhlivij yih kilkosti znajdetsya prinajmni tri vershini zonogona kozhna z yakih nalezhit lishe odnomu z paralelogramiv Sposobi zmenshennya kilkosti storinVidsikannya sharu paralelogramiv chotirikutnih zonogoniv Vidsikannya dvoh protilezhnih vershin zonogona Zaznacheni sposobi mozhna zastosuvati v indukciyi za kilkistyu storin zonogona dlya dovedennya navedenih vishe ekvivalentnih viznachen i vlastivostej Vidsikannya vershin za dopomogoyu nogo napriklad legko dovoditsya ekvivalentnist golovnogo viznachennya drugomu viznachennyu z rozdilu z ekvivalentnimi viznachennyami Vidsikannya smug paralelogramiv krim inshogo jogo mozhna vikoristati dlya dovedennya vlastivostej vishe pov yazanih z rozbittyam zonogoniv na paralelogrami povnistyu Zamoshennya ploshini zonogonamiUsi zonogoni z kilkistyu vershin bilshoyu vid chotiroh u zamoshennyah nizhche mozhna rozbiti na zonogoni z menshoyu kilkistyu vershin za dopomogoyu rozsikannya shariv paralelogramiv pokazanogo na odnomu z malyunkiv vishe Takozh ci paralelogrami mozhna vidaliti iz zamoshennya sho bude rivnosilno skladannyu zonogoniv u pevnomu napryamku Zamoshennya odnim tipom zonogoniv Chotirikutnik i shestikutniki yaki ye zonogonami ye takozh paralelogonami i dopuskayut zamoshennya ploshini vlasnimi kopiyami otrimanimi tilki za dopomogoyu paralelnogo perenesennya Zamoshennya ploshini odnim tipom zonogonivZamoshennya chotirikutnimi zonogonami Zamoshennya shestikutnimi zonogonamiZamoshennya dvoma tipami zonogoniv Taki zamoshennya ye svogo rodu zrizanimi zamoshennyami ploshini paralelogramami chotirikutnimi zonogonami po rebrah i po vershinah vidpovidno Zamoshennya ploshin dvoma tipami zonogonivZamoshennya chotirikutnimi i shestikutnimi zonogonami Zamoshennya chotirikutnimi i vosmikutnimi zonogonamiDeyaki inshi zamoshennya Zamoshennya ploshini dekilkoma tipami zonogoniv vklyuchno z vosmikutnimi otrimani z zamoshen ploshini odnim tipom zonogonivZamoshennya chotirikutnimi i vosmiukutnimi zonogonami Zamoshennya chotirikutnimi shestikutnimi i vosmikutnimi zonogonamiKarkasiZamoshennyaU zagalnomu vipadku vosmikutnij zonogon zadaye dva podibnih zamoshennya U zagalnomu vipadku vosmikutnij zonogon zadaye chotiri podibnih zamoshennya Zamoshennya ploshini chotirikutnimi shestikutnimi i vosmikutnimi zonogonami otrimani z zamoshen poperednoyi tabliciZamoshennya otrimane z zamoshennya chotirikutnimi i vosmikutnimi zonogonami Zamoshennya otrimane z zamoshennya chotirikutnimi shestikutnimi i vosmikutnimi zonogonamiKarkasiZamoshennyaU zagalnomu vipadku vosmikutnij zonogon zadaye chotiri podibnih zamoshennya dvoma sposobami mozhna z yednuvati sami vosmikutniki a she dvoma dlya kozhnogo roztashuvannya vosmikutnikiv zgrupuvati reshtu chastini ploshini v chotirikutniki i shestikutniki U zagalnomu vipadku vosmikutnij zonogon zadaye chotiri podibnih zamoshennya yak i u vipadku zliva U cij mozayici na vidminu vid tiyeyi sho zliva chotirikutniki yaki berut uchast u zapovnenni dirok u kilcyah z vosmi vosmikutnikiv zbigayutsya z chotirikutnikami yaki zapovnyuyut dirki v kilcyah z chotiroh vosmikutnikiv cej fakt ilyustruye mozhlivist dvoyakogo zapovnennya kilec z vosmi vosmikutnikiv u drugomu varianti yih chotirikutniki zbigalisya b z chotirikutnikami z kilec z shesti vosmikutnikiv Deyaki sposobi rozsuvannya zamoshen Zamoshennya mozhna rozsunuti vzdovzh periodichnih rozriziv mizh bagatokutnikami a otrimani shilini mozhna zapovniti smugami navedenimi nizhche Sposobi z rivnomirnim cherguvannyam storinPeriod 1Period 2Period 3Period 4 Za dopomogoyu ciyeyi smugi live zamoshennya z pershoyi tablici poperednogo rozdilu mozhna peretvoriti na prave zamoshennya tiyeyi zh tablici Sposobi zi storonami zustrichayutsya z riznoyu chastotoyuPeriod 4 Na mezhi ciyeyi smugi odin tip storin zustrichayetsya v dva razi chastishe nizh bud yakij z inshih dvoh UzagalnennyaZonoedr zonotop bagatogrannik yakij ye uzagalnennyam zonogona dlya trivimirnogo prostoru ta prostoriv bilshoyi rozmirnosti Inodi pid zonoedrom mayut na uvazi tilki trivimirnij bagatogrannik a pid zonotopom bagatogrannik dovilnoyi rozmirnosti Mozhna rozglyadati centralno simetrichnij bagatokutnik sho ne ye opuklim i navit nesamoperetinnim Pri comu dlya nogo budut istinnimi tilki dva pershih viznachennya z rozdilu Ekvivalentni viznachennya vidpovidno do pribranih vimog opuklosti U pevnomu sensi taki bagatokutniki z nevelikoyu kilkistyu storin vse she budut dopuskati zamoshennya ploshini Primitki 1990 A conjecture of Stein on plane dissections Mathematische Zeitschrift 205 4 583 592 doi 10 1007 BF02571264 MR 1082876 Szabo Sandor 1994 Algebra and Tiling Homomorphisms in the Service of Geometry Carus Mathematical Monographs t 25 Cambridge University Press p 130 ISBN 9780883850282 Young John Wesley Schwartz Albert John 1915 H Holt s 121 arhiv originalu za 18 bereznya 2022 procitovano 23 grudnya 2020 If a regular polygon has an even number of sides its center is a center of symmetry of the polygon 2014 Springer s 28 ISBN 9783319107417 arhiv originalu za 18 bereznya 2022 procitovano 23 grudnya 2020 Andreescu Titu Feng Zuming 2000 Cambridge University Press s 125 ISBN 9780883858035 arhiv originalu za 18 bereznya 2022 procitovano 23 grudnya 2020