В математиці зокрема в теорії міри зовнішня міра це функція визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значен

В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.

Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.

Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в $\mathbb {R} ^{3}$ .

Випадок числової прямої

Для довільної підмножини $E$ числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину $E$ . Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини $E$ , і називається зовнішньою мірою:

m^{*}E=\inf \left\{\sum _{i}\Delta _{i}\right\}

Варіанти позначення зовнішньої міри:

m^{*}E=\varphi (E)=|E|^{*}

Формальне означення

Нехай $X$ — фіксована універсальна множина.

Зо́внішньою мі́рою називається функція $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$ така, що

$\mu ^{*}(\varnothing )=0$ ;
$\forall A\subseteq X,\,\forall A_{n}\subset X,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})$ .

Нехай $\mu$ — міра, визначена на кільці $K$ . Зовнішньою мірою, породженою мірою $\mu$ , називається функція $\mu ^{*}\colon 2^{X}\longrightarrow [0,\,+\infty ]$ така, що

$\mu ^{*}(A)=\inf {\bigl \{}\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}){\bigr \}},\;A_{n}\subset K,n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ якщо хоч одне таке покриття множини $A$ існує;
$\mu ^{*}(A)=+\infty$ в іншому випадку.

Теорема. Зовнішня міра $\mu ^{*}$ , породженна мірою $\mu$ , є зовнішньою мірою.

$\vartriangleright$ Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри. $\mu \geqslant 0\Rightarrow \mu ^{*}\geqslant 0$ . $\mu ^{*}$ визначена на $2^{X}$ .

\varnothing \in K\colon \mu ^{*}(\varnothing )\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\mu (\varnothing )=0\Rightarrow \mu ^{*}(\varnothing )=0

.

Перевіримо другий пункт означення. Нехай $A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ . Якщо існує така множина $A_{n}$ з покриття, що $\mu ^{*}(A_{n})=+\infty$ , то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покриття такі, що $\mu ^{*}(A_{n})<+\infty ,\,\forall n\geqslant 1$ . Візьмемо довільне $\varepsilon >0$ , за означенням

\forall n\geqslant 1\,\exists B_{n_{k}}\in K,k\geqslant 1,\,A_{n}\subseteq \bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}\colon \mu ^{*}(A_{n})>\sum _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}-{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}

.

Тоді

\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}\supseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\supseteq A

.

Оскільки $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{\infty }B_{n_{k}}$ є зліченним об'єднанням елементів кільця $K$ , то

\mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }\mu (B_{n_{k}})<\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\mu ^{*}(A_{n})+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}{\bigr )}=\sum _{n=1}^{\infty }\mu ^{*}(A_{n})+\varepsilon ,\varepsilon \longrightarrow 0+

.

\vartriangleleft

Властивості зовнішньої міри

Властивості зовнішньої міри $\mu ^{*}$ :

$\forall n\geqslant 1,\,A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\colon \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})$ .

$\vartriangleright$ Дійсно,

A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}A_{k}\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \cdots \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})+\mu ^{*}(\varnothing )+\mu ^{*}(\varnothing )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}\mu ^{*}(A_{k})

.

\vartriangleleft

$A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{*}(A)\leqslant \mu ^{*}(B)$ (монотонність).

$\vartriangleright$ Випливає з попередньої властивості при $n=1$ . $\vartriangleleft$

$\mu ^{*}$ - вимірні множини

Нехай $\mu ^{*}$ — деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини $X$ . Тоді множини $E\subset X$ , такі що для всіх $A\subset X$ виконується рівність:

\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\cap E^{'}).

називаються $\mu ^{*}$ - вимірними. $\mu ^{*}$ - вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція $\mu ^{*}$ визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою $\mu ^{*}$ . Якщо зовнішня міра $\mu ^{*}$ породжена деякою мірою $\mu$ визначеною на кільці $K$ то ${\overline {\mu }}$ буде продовженням міри $\mu$ (де ${\overline {\mu }}$ визначена вище міра породжена $\mu ^{*}$ ).

Якщо визначити ${\overline {\mu }}^{*}$ деяка зовнішня міра породжена мірою ${\overline {\mu }}$ то $\mu ^{*}={\overline {\mu }}^{*}$ тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра $\mu ^{*}$ є породжена деякою мірою $\mu$ .

Див. також

Теорема Каратеодорі про продовження міри

Примітки

Халмош П.Р. Теория меры ст. 57

Література

Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953

[1] Халмош П.Р. Теория меры ст. 57