Доцентро́ве (норма́льне) приско́рення (англ. centripetal acceleration) — складова прискорення тіла, що характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості (друга складова, тангенціальне прискорення, характеризує зміну модуля швидкості). Напрямлене до центра кривини траєкторії, з чим і пов'язаний термін. Доцентрове прискорення є векторною величиною.
Приклад руху з ненульовим доцентровим прискоренням — рівномірний рух матеріальної точки по колу, за якого вектор доцентрового прискорення завжди напрямлений від матеріальної точки до центра кола.
Позначається символом, вибраним для прискорення, з додаванням позначки «нормальне»: (рідше ); в SI вимірюється в м/с2.
Модуль доцентрового прискорення визначають за формулою
- ,
де — модуль швидкості матеріальної точки, — радіус дуги або кола.
Для руху по колу використовують формулу:
,
де — (миттєва) кутова швидкість цього руху відносно центру кривизни траєкторії.
Доцентрове прискорення є частковим випадком нормального прискорення, яке виникає при будь-якому криволінійному русі.
В класичній механіці нормальне прискорення викликають компоненти сили, напрямлені ортогонально вектору швидкості. Наприклад, рух космічного об'єкта на орбіті характеризується доцентровим прискоренням, викликаним гравітацією. Складову суми сил, що обумовлює наявність нормального прискорення, називають доцентровою силою. Пов'язане поняття для неінерціальних систем відліку — відцентрова сила.
Доосьове прискорення, яке розглядають у випадках обертання тіла навколо осі, в проєкції на площину, перпендикулярну до осі, постає як доцентрове.
Загальна формула
Нормальне прискорення обчислюють за формулою
або (з використанням співвідношення )
- ,
де — (миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, — (миттєва) кутова швидкість руху відносно центра кривини траєкторії, — радіус кривини траєкторії в даній точці.
Вирази можна переписати у векторному вигляді:
- .
Тут — одиничний вектор, напрямлений від даної точки траєкторії до центра кривини траєкторії.
Ці формули застосовні як до часткової ситуації рівномірного руху (const), так і до довільного випадку. У рівномірному випадку нормальне прискорення збігається з повним. У загальному ж випадку нормальне прискорення — це лише складова вектора , перпендикулярна до траєкторії руху (вектора ), а в повний вектор прискорення входить ще й тангенціальна складова , співнапрямлена з дотичною до траєкторії.
Виведення формули
Для розкладання прискорення на тангенціальне і нормальне можна продиференціювати за часом вектор швидкості, заданий у вигляді через одиничний вектор дотичної :
- .
Тут перший доданок — тангенціальне прискорення, а другий — нормальне прискорення. Через позначено одиничний вектор нормалі, — радіус кривини траєкторії в даній точці, — елемент довжини траєкторії. Малу ділянку будь-якої кривої можна вважати дугою кола, причому її радіус і є радіусом кривини . У ланцюжку перетворень використано очевидні співвідношення і (де — малий кут повороту навколо центру кривини).
Рівність випливає з геометричних міркувань. Різниця одиничних дотичних векторів у розглянутій () і близькій до неї () точках траєкторії становить за величиною , де — кут між і . Ця різниця напрямлена під кутом до нормалі у розглянутій точці. За малого буде збіг із вектором нормалі . Також за малого можливий розклад синуса в ряд Тейлора. В результаті прийдемо до або, для нескінченно малих, .
Про радіус кривини
Обчислення радіуса кривини і координат центра кривини траєкторії є математичною задачею (див. Кривина). Якщо криву задано рівнянням , то радіус її кривини в точці (, ) знаходять як
- ,
а положення центра кривини — за формулами
- .
Одиничний вектор нормалі в такому випадку буде (, — орти)
- .
Якщо відома залежність радіус-вектора матеріальної точки від часу (з математичної точки зору це означає задання траєкторії в параметричному вигляді), то радіус кривини можна знайти через прискорення:
- ,
де і ; попередньо знаходять швидкість як . Центр кривини в загальному випадку не буде збігатися з початком відліку радіус-вектора.
Мотивація, зауваження
Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти — одну вздовж дотичної до траєкторії (тангенціальне прискорення) і іншу ортогональну їй (нормальне прискорення) — може бути зручним і корисним, досить очевидно. Під час руху зі сталою за модулем швидкістю тангенціальна складова стає рівною нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тільки нормальна складова. Крім того, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості і структуру, і нормальне прискорення містить в структурі своєї формули досить важливе і нетривіальне геометричне наповнення. Вкрай важливий також окремий випадок руху по колу.
Абсолютна величина тангенціального прискорення залежить тільки від шляхового прискорення, збігаючись з його абсолютною величиною, на відміну від абсолютної величини нормального прискорення, яка від шляхового прискорення не залежить, зате залежить від шляхової швидкості.
Історія поняття
Першим правильні формули для доцентрового прискорення (або відцентрової сили) отримав, напевно, Гюйгенс. Практично з цього часу розгляд доцентрового прискорення входить у звичайну техніку розв'язування механічних задач.
Дещо пізніше ці формули зіграли істотну роль у відкритті закону всесвітнього тяжіння (формулу доцентрового прискорення використано для отримання закону залежності гравітаційної сили від відстані до джерела гравітації, виходячи з виведеного зі спостережень третього закону Кеплера).
До XIX століття розгляд доцентрового прискорення стає вже абсолютно звичним як для чистої науки, так і для інженерних застосувань.
Див. також
Примітки
- Як видно з формули, за руху зі сталою шляховою швидкістю тангенціальне прискорення просто дорівнює нулю.
- . Архів оригіналу за 15 січня 2022. Процитовано 15 січня 2022.
Джерела
- https://www.eduget.com/course/fizika_podgotovka_k_zno-2325/[недоступне посилання]
Посилання
- Нормальне прискорення // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 134. — .
Це незавершена стаття з фізики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Docentro ve norma lne prisko rennya angl centripetal acceleration skladova priskorennya tila sho harakterizuye shvidkist zmini napryamku vektora shvidkosti druga skladova tangencialne priskorennya harakterizuye zminu modulya shvidkosti Napryamlene do centra krivini trayektoriyi z chim i pov yazanij termin Docentrove priskorennya ye vektornoyu velichinoyu Rozklad priskorennya a t displaystyle mathbf a t na tangencialne a t displaystyle mathbf a tau i normalne a n displaystyle mathbf a n n displaystyle mathbf n odinichnij vektor normali Priklad ruhu z nenulovim docentrovim priskorennyam rivnomirnij ruh materialnoyi tochki po kolu za yakogo vektor docentrovogo priskorennya zavzhdi napryamlenij vid materialnoyi tochki do centra kola Poznachayetsya simvolom vibranim dlya priskorennya z dodavannyam poznachki normalne a n displaystyle vec a n ridshe w n displaystyle vec w n v SI vimiryuyetsya v m s2 Modul docentrovogo priskorennya viznachayut za formuloyu a v 2 R displaystyle a frac v 2 R de v displaystyle v modul shvidkosti materialnoyi tochki R displaystyle R radius dugi abo kola Dlya ruhu po kolu vikoristovuyut formulu a w 2 R displaystyle a omega 2 R de w displaystyle omega mittyeva kutova shvidkist cogo ruhu vidnosno centru krivizni trayektoriyi Docentrove priskorennya ye chastkovim vipadkom normalnogo priskorennya yake vinikaye pri bud yakomu krivolinijnomu rusi V klasichnij mehanici normalne priskorennya viklikayut komponenti sili napryamleni ortogonalno vektoru shvidkosti Napriklad ruh kosmichnogo ob yekta na orbiti harakterizuyetsya docentrovim priskorennyam viklikanim gravitaciyeyu Skladovu sumi sil sho obumovlyuye nayavnist normalnogo priskorennya nazivayut docentrovoyu siloyu Pov yazane ponyattya dlya neinercialnih sistem vidliku vidcentrova sila Doosove priskorennya yake rozglyadayut u vipadkah obertannya tila navkolo osi v proyekciyi na ploshinu perpendikulyarnu do osi postaye yak docentrove Zagalna formulaNormalne priskorennya a n displaystyle a n obchislyuyut za formuloyu a n v 2 R displaystyle a n frac v 2 R abo z vikoristannyam spivvidnoshennya v w R displaystyle v omega R a n w 2 R displaystyle a n omega 2 R de v displaystyle v mittyeva linijna shvidkist ruhu po trayektoriyi w displaystyle omega mittyeva kutova shvidkist ruhu vidnosno centra krivini trayektoriyi R displaystyle R radius krivini trayektoriyi v danij tochci Virazi mozhna perepisati u vektornomu viglyadi a n v 2 R n w 2 R n displaystyle mathbf a n frac v 2 R mathbf n omega 2 R mathbf n Tut n displaystyle mathbf n odinichnij vektor napryamlenij vid danoyi tochki trayektoriyi do centra krivini trayektoriyi Ci formuli zastosovni yak do chastkovoyi situaciyi rivnomirnogo ruhu v displaystyle vec v const tak i do dovilnogo vipadku U rivnomirnomu vipadku normalne priskorennya zbigayetsya z povnim U zagalnomu zh vipadku normalne priskorennya ce lishe skladova vektora a displaystyle vec a perpendikulyarna do trayektoriyi ruhu vektora v displaystyle vec v a v povnij vektor priskorennya vhodit she j tangencialna skladova a t d v d t displaystyle a tau dv dt spivnapryamlena z dotichnoyu do trayektoriyi Vivedennya formuliDlya rozkladannya priskorennya na tangencialne i normalne mozhna prodiferenciyuvati za chasom vektor shvidkosti zadanij u viglyadi v v t displaystyle mathbf v v mathbf tau cherez odinichnij vektor dotichnoyi t displaystyle mathbf tau a d v d t d v t d t d v d t t v d t d t a t v d t d l d l d t a t v 2 d t d l a t v 2 R d t d f a t v 2 R n displaystyle mathbf a frac d mathbf v dt frac d v mathbf tau dt frac mathrm d v mathrm d t mathbf tau v frac d mathbf tau dt mathbf a tau v frac d mathbf tau dl frac dl dt mathbf a tau v 2 frac d mathbf tau dl mathbf a tau frac v 2 R frac d mathbf tau d varphi mathbf a tau frac v 2 R mathbf n Tut pershij dodanok tangencialne priskorennya a drugij normalne priskorennya Cherez n displaystyle mathbf n poznacheno odinichnij vektor normali R displaystyle R radius krivini trayektoriyi v danij tochci d l displaystyle dl element dovzhini trayektoriyi Malu dilyanku bud yakoyi krivoyi mozhna vvazhati dugoyu kola prichomu yiyi radius i ye radiusom krivini R displaystyle R U lancyuzhku peretvoren vikoristano ochevidni spivvidnoshennya d l d t v displaystyle dl dt v i d l R d f displaystyle dl R d varphi de d f displaystyle d varphi malij kut povorotu navkolo centru krivini Rivnist d t d f n displaystyle d mathbf tau d varphi mathbf n viplivaye z geometrichnih mirkuvan Riznicya D t t t displaystyle Delta mathbf tau mathbf tau mathbf tau odinichnih dotichnih vektoriv u rozglyanutij t displaystyle mathbf tau i blizkij do neyi t displaystyle mathbf tau tochkah trayektoriyi stanovit za velichinoyu 2 sin D f 2 displaystyle 2 sin Delta varphi 2 de D f displaystyle Delta varphi kut mizh t displaystyle mathbf tau i t displaystyle mathbf tau Cya riznicya napryamlena pid kutom D f 2 displaystyle Delta varphi 2 do normali n displaystyle mathbf n u rozglyanutij tochci Za malogo D f displaystyle Delta varphi bude zbig iz vektorom normali n displaystyle mathbf n Takozh za malogo D f displaystyle Delta varphi mozhlivij rozklad sinusa v ryad Tejlora V rezultati prijdemo do D t D f n displaystyle Delta mathbf tau Delta varphi mathbf n abo dlya neskinchenno malih d t d f d f d f n displaystyle d mathbf tau d varphi d varphi d varphi mathbf n Pro radius kriviniObchislennya radiusa krivini i koordinat centra krivini trayektoriyi ye matematichnoyu zadacheyu div Krivina Yaksho krivu zadano rivnyannyam y f x displaystyle y f x to radius yiyi krivini v tochci x displaystyle x y displaystyle y znahodyat yak R 1 f 2 3 2 f displaystyle R frac 1 f 2 3 2 f a polozhennya centra krivini za formulami 3 x f 1 f 2 f h y 1 f 2 f displaystyle xi x frac f 1 f 2 f qquad eta y frac 1 f 2 f Odinichnij vektor normali v takomu vipadku bude i displaystyle vec i j displaystyle vec j orti n 3 x R i h y R j displaystyle vec n frac xi x R vec i frac eta y R vec j Yaksho vidoma zalezhnist radius vektora materialnoyi tochki vid chasu r t displaystyle vec r t z matematichnoyi tochki zoru ce oznachaye zadannya trayektoriyi v parametrichnomu viglyadi to radius krivini mozhna znajti cherez priskorennya R v 2 a 2 a t 2 displaystyle R frac v 2 sqrt a 2 a tau 2 de a d v d t displaystyle vec a d vec v dt i a t d v d t displaystyle a tau dv dt poperedno znahodyat shvidkist yak v d r d t displaystyle vec v d vec r dt Centr krivini v zagalnomu vipadku ne bude zbigatisya z pochatkom vidliku radius vektora Motivaciya zauvazhennyaTe sho rozkladannya vektora priskorennya na komponenti odnu vzdovzh dotichnoyi do trayektoriyi tangencialne priskorennya i inshu ortogonalnu yij normalne priskorennya mozhe buti zruchnim i korisnim dosit ochevidno Pid chas ruhu zi staloyu za modulem shvidkistyu tangencialna skladova staye rivnoyu nulyu tobto v comu vazhlivomu okremomu vipadku zalishayetsya tilki normalna skladova Krim togo kozhna z cih skladovih maye yaskravo virazheni vlasni vlastivosti i strukturu i normalne priskorennya mistit v strukturi svoyeyi formuli dosit vazhlive i netrivialne geometrichne napovnennya Vkraj vazhlivij takozh okremij vipadok ruhu po kolu Absolyutna velichina tangencialnogo priskorennya zalezhit tilki vid shlyahovogo priskorennya zbigayuchis z jogo absolyutnoyu velichinoyu na vidminu vid absolyutnoyi velichini normalnogo priskorennya yaka vid shlyahovogo priskorennya ne zalezhit zate zalezhit vid shlyahovoyi shvidkosti Istoriya ponyattyaPershim pravilni formuli dlya docentrovogo priskorennya abo vidcentrovoyi sili otrimav napevno Gyujgens Praktichno z cogo chasu rozglyad docentrovogo priskorennya vhodit u zvichajnu tehniku rozv yazuvannya mehanichnih zadach Desho piznishe ci formuli zigrali istotnu rol u vidkritti zakonu vsesvitnogo tyazhinnya formulu docentrovogo priskorennya vikoristano dlya otrimannya zakonu zalezhnosti gravitacijnoyi sili vid vidstani do dzherela gravitaciyi vihodyachi z vivedenogo zi sposterezhen tretogo zakonu Keplera Do XIX stolittya rozglyad docentrovogo priskorennya staye vzhe absolyutno zvichnim yak dlya chistoyi nauki tak i dlya inzhenernih zastosuvan Div takozhTangencialne priskorennya Krivina Vidcentrova silaPrimitkiYak vidno z formuli za ruhu zi staloyu shlyahovoyu shvidkistyu tangencialne priskorennya prosto dorivnyuye nulyu Arhiv originalu za 15 sichnya 2022 Procitovano 15 sichnya 2022 Dzherelahttps www eduget com course fizika podgotovka k zno 2325 nedostupne posilannya PosilannyaNormalne priskorennya Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 134 ISBN 978 966 7407 83 4 Ce nezavershena stattya z fiziki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi