Група Коксетера — група, породжена відображеннями в гранях -вимірного многогранника, в якого кожен двогранний кут становить цілу частину від (тобто дорівнює для деякого цілого ). Такі многогранники називаються многогранниками Коксетера. Групи Коксетера визначаються для багатогранників у евклідовому просторі, на сфері, а також у просторі Лобачевського.
Приклади
- Скінченним групам Коксетера ізоморфні, зокрема, групи Вейля простих алгебр Лі.
- Многогранники Коксетера в евклідовому просторі розмірності :
- -вимірний куб довільної розмірності.
- -вимірний симплекс, утворений точками з координатами такими, що .
- Многогранники Коксетера в одиничній сфері розмірності :
- правильний -вимірний симплекс зі стороною .
- Многогранники Коксетера в просторах Лобачевського:
- Правильний - многокутник із кутом .
- Правильний прямокутний додекаедр у розмірності .
- Правильний прямокутний стодвадцятикомірник у розмірності .
Властивості
- Групи Коксетера описуються і класифікуються за допомогою діаграм Коксетера — Динкіна.
- Многогранник Коксетера є фундаментальною областю дії групи Коксетера.
- Зокрема, многогранник Коксетера замощує простір.
- Зокрема, будь-яка евклідова група Коксетера є прикладом точкової групи.
- Теорема Вінберга. У просторах Лобачевського всіх досить великих розмірностей обмежених многогранників Коксетера не існує.
- Сферичні многогранники Коксетера є симплексами.
- Многогранники Коксетера є простими.
- Позначимо через відображення в гранях многогранника, і нехай є двогранний кут між гранями і . Нехай , якщо грані не утворюють двогранного кута у многограннику, і . Тоді групу Коксетера можна задати так:
Варіації та узагальнення
- Групами Коксетера також називають узагальнення класу груп, описаного вище, що визначається за допомогою задання:
- ,
- де і при .
Див. також
Примітки
- Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений [ 23 травня 2013 у Wayback Machine.] УМН, 40:1(241) (1985), 29–66
Література
- H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35 (28 June). — P. 588—621. — DOI: . JSTOR 1968753
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Grupa Koksetera grupa porodzhena vidobrazhennyami v granyah n displaystyle n vimirnogo mnogogrannika v yakogo kozhen dvogrannij kut stanovit cilu chastinu vid p displaystyle pi tobto dorivnyuye p k displaystyle pi k dlya deyakogo cilogo k displaystyle k Taki mnogogranniki nazivayutsya mnogogrannikami Koksetera Grupi Koksetera viznachayutsya dlya bagatogrannikiv u evklidovomu prostori na sferi a takozh u prostori Lobachevskogo PrikladiSkinchennim grupam Koksetera izomorfni zokrema grupi Vejlya prostih algebr Li Mnogogranniki Koksetera v evklidovomu prostori rozmirnosti n displaystyle n n displaystyle n vimirnij kub dovilnoyi rozmirnosti n displaystyle n vimirnij simpleks utvorenij tochkami z koordinatami x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 dots x n takimi sho 0 x 1 x 2 x n 1 displaystyle 0 leqslant x 1 leqslant x 2 leqslant ldots leqslant x n leqslant 1 Mnogogranniki Koksetera v odinichnij sferi rozmirnosti n displaystyle n pravilnij n displaystyle n vimirnij simpleks zi storonoyu p 2 displaystyle pi 2 Mnogogranniki Koksetera v prostorah Lobachevskogo Pravilnij k displaystyle k mnogokutnik iz kutom p m displaystyle pi m Pravilnij pryamokutnij dodekaedr u rozmirnosti 3 displaystyle 3 Pravilnij pryamokutnij stodvadcyatikomirnik u rozmirnosti 4 displaystyle 4 VlastivostiGrupi Koksetera opisuyutsya i klasifikuyutsya za dopomogoyu diagram Koksetera Dinkina Mnogogrannik Koksetera ye fundamentalnoyu oblastyu diyi grupi Koksetera Zokrema mnogogrannik Koksetera zamoshuye prostir Zokrema bud yaka evklidova grupa Koksetera ye prikladom tochkovoyi grupi Teorema Vinberga U prostorah Lobachevskogo vsih dosit velikih rozmirnostej obmezhenih mnogogrannikiv Koksetera ne isnuye Sferichni mnogogranniki Koksetera ye simpleksami Mnogogranniki Koksetera ye prostimi Poznachimo cherez r 1 r 2 r n displaystyle r 1 r 2 ldots r n vidobrazhennya v granyah mnogogrannika i nehaj p m i j displaystyle pi m ij ye dvogrannij kut mizh granyami i displaystyle i i j displaystyle j Nehaj m i j displaystyle m ij infty yaksho grani ne utvoryuyut dvogrannogo kuta u mnogogranniku i m i i 1 displaystyle m ii 1 Todi grupu Koksetera mozhna zadati tak r 1 r 2 r n r i r j m i j 1 displaystyle left langle r 1 r 2 ldots r n mid r i r j m ij 1 right rangle Variaciyi ta uzagalnennyaGrupami Koksetera takozh nazivayut uzagalnennya klasu grup opisanogo vishe sho viznachayetsya za dopomogoyu zadannya r 1 r 2 r n r i r j m i j 1 displaystyle left langle r 1 r 2 ldots r n mid r i r j m ij 1 right rangle de m i i 1 displaystyle m ii 1 i m i j 2 displaystyle m ij geqslant 2 pri i j displaystyle i neq j Div takozhChislo KokseteraPrimitkiE B Vinberg Giperbolicheskie gruppy otrazhenij 23 travnya 2013 u Wayback Machine UMN 40 1 241 1985 29 66LiteraturaH S M Coxeter Discrete groups generated by reflections Annals of Mathematics 1934 Vol 35 28 June P 588 621 DOI 10 2307 1968753 JSTOR 1968753