Простий многогранник

Простий многогранник — опуклий ${\displaystyle d}$-вимірний многогранник у якого із будь-якої вершини виходить рівно ${\displaystyle d}$ ребер.

Приклади

• Розмірність 3
  • Тетраедр
  • Куб
  • Додекаедр
  • Призма
• Будь-який є простим

Властивості

• многогранник є простим тоді і тільки тоді, коли його двоїстий многогранник симпліційний.
• Рівняння Дена — Сомервіля для простого многогранника має такий вигляд: якщо ${\displaystyle f_{k}}$ — число ${\displaystyle k}$-вимірних граней ${\displaystyle n}$-вимірного многогранника і

  ${\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}}$

то ${\displaystyle h_{k}=h_{n-k}}$ для будь-якого ${\displaystyle k}$.

• Комбінаторний тип простого многогранника повністю визначається графом із його вершин і ребер.
• Прості многогранники утворюють відкриту всюди щільну множину в просторі многогранників з фіксованим числом граней корозмірності 1, що має метрику Гаусдорфа.

Примітки

1. Kalai, Gil A simple way to tell a simple polytope from its graph. J. Combin. Theory Ser. A 49 (1988), no. 2, 381–383.