Брахістохро́на (грец. βράχιστος — найкоротший і грец. χρόνος — час) — крива найшвидшого спуску, тобто та з усіх можливих кривих, що сполучають дві точки А і В (мал.), вздовж якої важка кулька, що ковзає без тертя (або котиться) за відсутності опору середовища з точки А, за найкоротший час досягає нижчої точки В. Брахістохрона — звичайна циклоїда з горизонтальною основою і (точкою розвороту) у верхній точці А. Задача про брахістохрону, розв'язана Йоганном Бернуллі (1696), відіграла важливу роль у розвитку варіаційного числення.
Брахістохрона | |
Формула | |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | |
|
Постановка математичної задачі
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMell6TDBKeVlXTm9hWE4wYjJOb2NtOXVaUzVuYVdZdk16VXdjSGd0UW5KaFkyaHBjM1J2WTJoeWIyNWxMbWRwWmc9PS5naWY=.gif)
Очевидно, закон збереження енергії накладає обмеження на висоту точки В: точка В має знаходитись нижче, або на тій самій висоті що і точка А. Якщо точка В лежить на одній вертикальній прямій з точкою А, то розв'язок задачі очевидний — траєкторія найшвидшого спуску буде відрізок прямої [АВ]. Тому ми будемо розглядати випадок, коли точка В дещо зміщена від точки А по горизонталі.
Виберемо початок координат в початковій точці А, і направимо вісь абсцис
горизонтально в напрямку кінцевої точки В (допустимо для визначеності малюнка, що ми дивимося на ці точки з таким ракурсом, що точка В знаходиться правіше від точки А), а вісь ординат
вертикально вниз. Очевидно, третя просторова координата повинна дорівнювати нулю на кривій найшвидшого спуску (проєкція будь-якої просторової кривої на площину
даватиме менший час спуску).
Оскільки втрати енергії на тертя відсутні, ми можемо записати закон збереження енергії, прийнявши енергію кульки в точці А за нуль:
Потенціальна енергія кульки масою в полі тяжіння дорівнює:
Кінетична енергія для кульки що ковзає без обертання (як намистина на дроті) дорівнює:
Якщо ж кулька котиться без проковзування, то до кінетичної енергії поступального руху (3) треба ще додати кінетичну енергію обертання:
Для суцільної однорідної кульки радіуса маємо момент інерції
, а тому кінетична енергія дорівнює:
Підставивши (2) і (3) в (1), одержуємо рівняння:
звідки знаходимо швидкість кульки (що ковзає без обертання) в довільній точці кривої:
аналогічно, з (2), (5) і (1) знаходимо швидкість кульки, що котиться:
Далі, враховуючи залежність між швидкістю, пройденим шляхом і пройденим часом:
Знаходимо, що час руху кульки вздовж кривої від точки А до точки В дається інтегралом ( через вибір системи координат):
де постійна дорівнює відповідно для кульки що ковзає, і для кульки що котиться:
Отже, математично задача про брахістохрону формулюється так: нам треба знайти таку невід'ємну функцію, зафіксовану на кінцях:
що інтеграл у формулі (10) досягає мінімуму. Зауважимо, що константа не впливає на розв'язок, а тому ми її опускатимемо аж доки не почнемо цікавитися, чому дорівнює цей мінімальний час спуску.
Шукаємо мінімум функціонала від функції
, графіком якої є наша крива спуску:
Знаходження розв'язку
В точці локального мінімуму функціонала перша варіація функціонала повинна дорівнювати нулю, а друга варіація
має бути більшою нуля (додатньо визначеною квадратичною формою від варіації аргументної функції
).
З рівності нулю першої варіації слідує рівняння Ейлера — Лагранжа для функціонала (13):
де (лагранжиан) дорівнює функції під інтегралом в (13):
З формул (14), (15) ми одержуємо звичайне диференціальне рівняння відносно невідомої функції :
Але перше ніж розв'язувати (16), поглянемо на пошуки кривої з дещо іншої точки зору. А саме, припустимо, що наша крива спуску задана параметрично:
параметр монотонно зростає при переміщенні вздовж нашої кривої, тобто є деякою досить довільною, але монотонно зростаючою функцією часу:
Позначаючи крапкою зверху похідну функцій (17) по параметру , ми можемо переписати функціонал (13) так:
Очевидно, що величина інтеграла (19) не зміниться при заміні параметра на будь-яку іншу зростаючу функцію часу
:
Для функціонала (19) ми матимемо два рівняння Ейлера-Лагранжа, :
Рівняння (21) і (22) так само, як і породивший їх інтеграл (19), інваріантні щодо заміни параметра . Очевидно, що рівняння (22) переходить в (16) якщо взяти параметр кривої
. А от рівняння (21) виглядає простішим (зусилля витрачені на розгляд альтернативної точки зору виявилися не марними).
Починаємо розв'язувати звичайне диференціальне рівняння (21). Ми відразу можемо його проінтегрувати:
Постійна інтегрування (однакова для всіх точок нашої шуканої кривої) має бути додатньою, оскільки ми обрали таку систему координат що кінцева точка В має більшу абсцису:
Перепишемо (23) в іншому вигляді, виконавши алгебраїчні перетворення:
В правій частині останнього рівняння стоїть додатній вираз, а тому і вираз у дужках лівої частини повинен бути більшим нуля. Таким чином ордината нашої кривої лежить в межах:
Оскільки параметр в формулі (24) довільний, зафіксуємо залежність ординати від параметра наступною функцією, враховуючи нерівності (25):
В початковій точці А кривої маємо , а тому згідно з формулою (26) покладемо
Будемо шукати залежність таку, щоб задовольнити диференціальне рівняння (24):
Після алгебраїчних перетворень одержуємо:
При переході з (27a) до (27b) ми врахували додатність константи інтегрування в формулі (23).
Формулу (27b) легко проінтегрувати, враховуючи початкову умову :
Формули (26) і (28) є рівняннями циклоїди, заданої параметрично. Запишемо ще раз ці два рівняння окремо:
Крива (29) є брахістохроною.
Узгодженість розв'язку
В ході розв'язування ми одержали три рівняння Ейлера-Лагранжа: (16), (21) і (22). Але розв'язок ми знайшли лише для рівняння (21). Покажемо, що знайдений розв'язок також задовольняє решту рівнянь (16) і (22).
Очевидно, що рівняння (16) можна одержати, поділивши (22) на . Тому нам достатньо перевірити, що розв'язок (29) задовольняє (22).
Спершу знайдемо суму квадратів похідних:
Підставляючи (30) і (29) в (22), знаходимо:
Додатність другої варіації
Попередні обчислення
Запишемо інтеграл другої варіації функціонала (13):
Знайдемо коефіцієнти квадратичної форми, враховуючи (15):
Нас цікавить значення другої варіації функціонала тільки в точці мінімуму, тобто тільки для кривої, що є брахістохроною. Виразимо коефіцієнти (33) через параматр циклоїди, скориставшись (29). Спочатку обчислимо:
Тепер підставимо (34) в формули (33):
Перша невдала спроба
Перевіримо, чи буде підінтегральна функція в (32) додатньо визначеною квадратичною формою. Для цього треба (необхідно і достатньо по критерю Сільвестра), щоб головні мінори матриці квадратичної форми були додатні:
Підстановка (35) в (38) дає правильну нерівність, але нерівність (39) не виконується з врахуванням формул (35-37):
Зокрема, на початку руху по брахістохроні параметр близький до нуля, косинус близький до одиниці, а тому вираз (40) від'ємний.
Друга спроба
Якби варіація та її похідна
були незалежними і довільними функціями, то ми б дійсно могли підібрати ці функції так щоб в кожній точці
підінтегральний вираз в (32) був від'ємним або нульовим, і таким чином весь інтеграл (32) міг би бути від'єним.
Але насправді між функцією та її похідною є зв'язок. Оскільки на кінцях нашої кривої варіація перетворюється в нуль
то ми маємо тотожно:
Віднімемо від інтеграла другої варіації (32) тотожність (40), одержимо такий вираз для другої варіації:
Покажемо, що підінтегральний вираз в (43) буде додатнім на брахістохроні. Другий доданок буде додатнім внаслідок формули (37). Покажемо тепер, що додатньою буде також перший доданок, обчислимо різницю:
Отже друга варіація функціонала (13) додатня на брахістохроні, тобто брахістохрона є локальним мінімумом цього функціонала.
Джерела
- Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет