Формула включень-виключень (або принцип включень-виключень) — комбінаторна формула, що дозволяє визначити потужність об'єднання скінченного числа скінченних множин, які в загальному випадку можуть перетинатися один з одним.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMelprTDFabGJtNWZRVjlwYm5SbGNuTmxZM1JmUWk1emRtY3ZNakl3Y0hndFZtVnVibDlCWDJsdWRHVnljMlZqZEY5Q0xuTjJaeTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Наприклад, у випадку двох множин та формула включень-виключень має вигляд:
У сумі елементи перетину враховані двічі, тому віднімаємо з правої частини формули. Справедливість цього міркування видно з діаграми Ейлера-Венна для двох множин, яка наведена на малюнку праворуч.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelF5TDBsdVkyeDFjMmx2YmkxbGVHTnNkWE5wYjI0dWMzWm5Mekl5TUhCNExVbHVZMngxYzJsdmJpMWxlR05zZFhOcGIyNHVjM1puTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
У випадку трьох множин A, B та C формула має вигляд:
Ця формула може бути перевірена підрахунком того, скільки разів кожна область діаграми Ейлера-Венна використовується в правій частині формули. В цьому випадку, можна зауважити, що елементи перетину трьох множин будуть три рази враховані і три рази відняті, тому їх потрібно додати задля правильного підрахунку.
Таким же чином і в разі множин процес знаходження кількості елементів об'єднання полягає у включенні всього, потім виключення зайвого, потім включенні помилково виключеного і так далі, тобто в чергуванні включення і виключення. Звідси і походить назва формули.
Історія
Вперше формулу включень-виключень опублікував португальський математик [en] в 1854 році. Але ще в 1713 Микола Бернуллі використовував цей метод для вирішення завдання (Монмора), відомої як (задача про зустрічі) (фр. Le problème des rencontres), окремим випадком якої є задача про безлад. Також формулу включень-виключень пов'язують з іменами французького математика Абрахама де Муавра і англійського математика Джозефа Сильвестра. У теорії ймовірностей аналог принципу включень-виключень відомий як формула Анрі Пуанкаре.
Формулювання
Формулу включень-виключень можна сформулювати в різних формах.
У термінах множин
Нехай — скінченні множини. Формула включень-виключень стверджує:
Більш компактно можна записати так:
або
При отримуємо формули для двох або трьох множин, наведені вище.
У термінах властивостей
Принцип включень-виключень часто наводять в такому альтернативному формулюванні . Нехай дано кінцеву множину , яка складається з
елементів, і нехай є набір властивостей
. Кожен елемент множини
може володіти або не володіти будь-якою з цих властивостей. Позначимо через
кількість елементів, що володіють відповідно властивостями
(і, можливо, деякими іншими). Також через
позначимо кількість елементів, що не володіють жодною з властивостей
. Тоді має місце формула:
Формулювання принципу включень-виключень у термінах множин еквівалентне формулюванню в термінах властивостей. Дійсно, якщо множина є підмножинами деякої множини
, то в силу законів де Моргана
(риска над множиною позначає доповнення в множині
), і формулу включень-виключень можна переписати так:
Якщо тепер замість «елемент належить множини
» говорити «елемент
має властивість
», то ми отримаємо формулювання принципу включень-виключень в термінах властивостей, і навпаки.
Позначимо через кількість елементів, що володіють в точності r властивостями з набору
. Тоді формулу включень-виключень можна переписати в такій замкненій формі
Доведення
Існує кілька доведень формули включень-виключень.
За математичною індукцією
Формулу включень-виключень можна довести за математичною індукцією .
При формула включень-виключень тривіальна:
Нехай формула вірна для , доведемо її для
.
Нехай кожен елемент множини може володіти або мати будь-яку з властивостей
. Застосуємо формулу включень-виключень для властивостей
:
Тепер застосуємо формулу для властивостей до множини
об'єктів, для яких виконано властивість
:
Нарешті, застосуємо формулу для однієї властивості до сукупності
, об'єктів, які не володіють властивостями
:
Комбінуючи виписані три формули, отримаємо формулу включень-виключень для властивостей
. Що і потрібно було довести.
Комбінаторне доведення
Розглянемо довільний елемент і підрахуємо, скільки разів він враховується в правій частині формули включень-виключень.
Якщо елемент не володіє жодною з властивостей
, то в правій частині формули він враховується рівно 1 раз (в члені
).
Нехай елемент володіє рівно
властивостями
. Тоді
дає по 1 в тих доданків суми
, для яких
є підмножина
, і 0 для інших. Число таких підмножин за визначенням є число сполук
. Отже, внесок елемента
в праву частину дорівнює
При число сполучень дорівнює нулю. Сума, що залишилася в силу біноміальної теореми дорівнює
Таким чином, права частина формули включень-виключень враховує кожен елемент, який не має зазначених властивостей точно по одному разу, а кожен елемент, що володіє хоча б однією з властивостей — нуль разів. Отже, вона дорівнює кількості елементів, що не володіють жодною з властивостей , тобто
. Що і потрібно було довести.
Використовуючи індикаторні функції
Нехай — довільні (не обов'язково скінченні) множини, які є підмножинами деякої множини
, і нехай
— (індикаторні функції)
(або, еквівалентно, властивостей
).
Індикаторна функція їх доповнень дорівнює
а індикаторна функція перетину доповнень:
Розкриваючи дужки в правій частині і ще раз використовуючи той факт, що індикаторна функція перетину множин дорівнює добутку їх індикаторних функцій, отримуємо:
Це співвідношення — одна з форм принципу включень-виключень. Воно виражає собою логічну тотожність і вірне для довільних множин . У разі скінченних множин
(і, відповідно, в припущенні скінченності множини
), якщо підсумувати це співвідношення по всіх
і скористатися тим, що для довільного підмножини
його потужність дорівнює
отримаємо формулювання принципу включень-виключень в термінах потужностей множин (або в термінах властивостей).
Застосування
Задача про безлад
Класичний приклад використання формули включень-виключень — задача про безлад. Потрібно знайти число перестановок множини
таких що
для всіх
. Такі перестановки називаються (безладом).
Нехай — множина всіх перестановок
і нехай властивість
перестановки виражається рівністю
. Тоді число безладів є
. Легко бачити, що
— число перестановок, що залишають на місці елементи
, і таким чином сума
містить
однакових доданків. Формула включень-виключень дає вираз для числа
безладів:
Це співвідношення можна перетворити до вигляду
Неважко бачити, що вираз в дужках є частковою сумою ряду . Таким чином, з хорошою точністю число безладів становить
частку від загального числа
перестановок:
Обчислення функції Ейлера
Інший приклад застосування формули включень-виключень — знаходження явного вираження для функції Ейлера , що виражає кількість чисел з
взаємно простих з
.
Нехай канонічне розкладання числа на прості множники має вигляд
Число взаємно просте з
тоді і тільки тоді, коли жоден з простих дільників
ділить
. Якщо тепер властивість
означає, що
ділить
, то кількість чисел, взаємно простих з
є
.
Кількість чисел, що володіють властивостями
дорівнює
, оскільки
.
За формулою включень-виключень знаходимо:
Ця формула перетвориться до виду:
Варіації і узагальнення
Принцип включення-виключення для ймовірностей
Нехай — імовірнісний простір. Тоді для випадкових подій
виконується формула
Ця формула виражає принцип включень-виключень для ймовірностей. Її можна отримати з принципу включень-виключень у формі індикаторних функцій:
Нехай — події імовірнісного простору
, тобто
. Візьмемо математичне сподівання
від обох частин цього співвідношення, і, скориставшись лінійністю математичного сподівання і рівністю
для довільного події
, отримаємо формулу включення-виключення для ймовірностей.
Принцип включень-виключень у просторах з мірою
Нехай — простір з мірою. Тоді для довільних вимірних множин
кінцевої міри
має місце формула включень-виключень:
Очевидно, принцип включень-виключень для ймовірностей і для потужностей скінченних множин є окремими випадками цієї формули. У першому випадку мірою є, природно, ймовірнісна міра у відповідному ймовірнісному простору: . У другому випадку як міра береться потужність множини:
.
Вивести принцип включень-виключень для просторів з мірою можна також, як для зазначених окремих випадків, з тотожності для індикаторних функцій:
Нехай — вимірні множини простору
, тобто
. Проінтегруємо обидві частини цієї рівності по мірі
, скористаємось лінійністю інтеграла і співвідношенням
, і отримаємо формулу включень-виключень для міри.
Тотожність максимумів і мінімумів
Формула включень-виключень може розглядатися як окремий випадок (тотожності максимумів і мінімумів):
Це співвідношення справедливо для довільних чисел . В окремому випадку, коли
ми отримуємо одну з форм принципу включень-виключень. Справді, якщо покласти
, де
— довільний елемент із
, то отримаємо співвідношення для індикаторних функцій множин:
Обертання Мебіуса
Нехай — кінцева множина, і нехай
— довільна функція, визначена на сукупності підмножин
, яка приймає дійсні значення. Визначимо функцію
наступним співвідношенням:
Тоді має місце наступна формула звернення :
Це твердження є окремим випадком загальної формули обертання Мебіуса для [en] сукупності всіх підмножин множини
, частково впорядкованих по відношенню включення
.
Покажемо, як з цієї формули отримати принцип включення-виключення для скінченних множин. Нехай дано сімейство підмножин скінченної множини
, позначимо
— множина індексів. Для кожного набору індексів
визначимо
як число елементів, що входять тільки в ті множини
, для яких
. Математично це можна записати так:
Тоді функція , яка визначається формулою
описує кількість елементів, кожний з яких входить у всі множини ,
і, бути може, ще в інші. Тобто
Зауважимо далі, що — кількість елементів, що не володіють жодною з властивостей:
З урахуванням зроблених зауважень запишемо формулу обернення Мебіуса:
Це є в точності формула включень-виключень для скінченних множин, тільки в ній не згруповані доданки, пов'язані з однаковим значенням .
Див. також
- [en]
Примітки
- Ріордан Дж. Введення в комбінаторний аналіз = An Introduction to Combinatorial Analysis. — 289 с.
- Weisstein, Eric W. Derangement(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Рибніков К. А. Введення в комбінаторний аналіз. — 2-е вид. — 309 с.
- Ріордан Дж. Введення в комбінаторний аналіз = An Introduction to Combinatorial Analysis. — М. : Вид-во іноземної літератури, 1963. — 289 с.
- Холл М. Комбінаторика = Combinatorial Theory. — 424 с.
- Рибніков К. А. Введення в комбінаторний аналіз. — 2-е вид. — 309 с.
- Рибніков К. А. Введення в комбінаторний аналіз. — 2-е вид. — 309 с.
- Боровков, А. А. Теорія ймовірностей. — 2-е вид. — 431 с.
- Холл М. Комбінаторика = Combinatorial Theory. — 424 с.
- Стенлі Р. Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — 440 с.
Посилання
- И. Яглом. Заплаты на кафтане // Квант. — 1974. — № 2. — С. 13—21.
- Weisstein, Eric W. Inclusion-Exclusion Principle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет