Торичний вузол

Торичний вузол — особливий вид вузлів, що лежать на поверхні незавузленого тора в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

(3,7)-торичний вузол.

Приз у вигляді (2,3)-торичного вузла.

(2,8)-торичне зачеплення

Торичне зачеплення — зачеплення, що лежить на поверхні тора.

Кожен торичний вузол визначається парою взаємно простих цілих чисел ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$. Торичне зачеплення виникає, коли ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ не взаємно прості (в цьому випадку число компонент дорівнює найбільшому спільному дільнику ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$). Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або ${\displaystyle p}$, або ${\displaystyle q}$ дорівнює 1 або -1. Найпростішим нетривіальним прикладом є (2,3)-торичний вузол, відомий також як трилисник.

(2, -3)-торичний вузол, відомий також як лівий трилисник

Геометричне подання

Торичний вузол можна подати геометрично різними способами, топологічно еквівалентними, але геометрично різними.

Зазвичай використовується домовленість, що ${\displaystyle (p,q)}$-торичний вузол обертається ${\displaystyle q}$ разів навколо кругової осі тора і ${\displaystyle p}$ разів навколо осі обертання тора. Якщо ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ не взаємно прості, то виходить торичне зачеплення, що має більше однієї компоненти. Домовленості про напрямок обертання ниток навколо тора також різні, найчастіше припускається правий гвинт для ${\displaystyle pq>0}$.

${\displaystyle (p,q)}$-торичний вузол можна задати параметризацією:

${\displaystyle x=r}$${\displaystyle \cos(p\phi )}$,

${\displaystyle y=r}$${\displaystyle \sin(p\phi )}$,

${\displaystyle z=-\sin(q\phi )}$,

де ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$ і ${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$. Він лежить на поверхні тора, що задається формулою ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$ (в циліндричних координатах).

Можливі й інші параметризації, оскільки вузли визначені з точністю до неперервної деформації. Приклади для (2,3)- і (3,8)-торичних вузлів можна отримати, прийнявши ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$, а в разі (2,3)-торичного вузла — шляхом віднімання ${\displaystyle 3\cos((p-q)\phi )}$ і ${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$ з наведених вище параметризацій ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ .

Властивості

Діаграма (3, -8)-торичного вузла.

Торичний вузол є тривіальним тоді і тільки тоді, коли або ${\displaystyle p}$, або ${\displaystyle q}$ дорівнює 1 або -1 .

Кожен нетривіальний торичний вузол є простим і хіральним.

${\displaystyle (p,q)}$-торичний вузол еквівалентний ${\displaystyle (q,p)}$-торичному вузлу. ${\displaystyle (p,-q)}$-торичний вузол є оберненим (дзеркальним відображенням) ${\displaystyle (p,q)}$-торичного вузла. ${\displaystyle (-p,-q)}$-торичний вузол еквівалентний ${\displaystyle (p,q)}$-торичному вузлу, за винятком орієнтації.

(3, 4)-торичний вузол на розвороті поверхні тора і слово коси

Будь-який ${\displaystyle (p,q)}$-торичний вузол можна побудувати з замкнутої коси з ${\displaystyle p}$ нитками. Відповідне слово коси:

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}}$ .

Ця формула використовує домовленість, що генератори коси використовують праві обертання.

Число перетинів ${\displaystyle (p,q)}$-торичного вузла з ${\displaystyle p,q>0}$ задається формулою:

${\displaystyle c=\min((p-1)q,(q-1)p)}$ .

Рід торичного вузла з ${\displaystyle p,q>0}$ дорівнює:

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

Многочлен Александера торичного вузла дорівнює:

${\displaystyle {\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}}$ .

Многочлен Джонса (правогвинтовий) торичного вузла задається формулою:

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}}$ .

Доповнення торичного вузла на 3-сфері — це многовид Зейферта.

Нехай ${\displaystyle Y}$ — ${\displaystyle p}$-мірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині, ${\displaystyle Z}$ — ${\displaystyle q}$-вимірний блазенський ковпак з диском, видаленим всередині, і ${\displaystyle X}$ — фактор-простір, отриманий ототожненням ${\displaystyle Y}$ і ${\displaystyle Z}$ вздовж межі кола. Доповнення ${\displaystyle (p,q)}$-торичного вузла є деформаційним ретрактом простору ${\displaystyle X}$. Таким чином, група вузла торичного вузла має подання:

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle }$ .

Торичні вузли — це єдині вузли, чиї групи вузла мають нетривіальні центри (які є нескінченними циклічними групами, утвореними елементом ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$ з цього подання).

Перелік

• Тривіальний вузол, 3₁-вузол (2,3), вузол «Перстач» (5,2), вузол 7₁ (7,2), вузол 8₁₉ (4,3), вузол 9₁ (9,2), вузол 10₁₂₄ (5,3).

Див. також

• Альтернований вузол
• Перстач (вузол)

Примітки

1. Livingston, 1993.
2. Murasugi, 1996.
3. Kawauchi, 1996.
4. Lickorish, 1997.
5. Dehornoy, P. et al. (2000). Why are braids orderable? http://www.math.unicaen.fr/~dehornoy/Books/Why/Dgr.pdf [ 15 квітня 2012 у Wayback Machine.]
6. Birman, Brendle, 2005.

Література

• Charles Livingston. Knot theory. — Mathematical Association of America, 1993. — .(англ.)
• Kunio Murasugi. Knot theory and its applications. — Birkhäuser, 1996. — .(англ.)
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — .(англ.)
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — Springer, 1997. — .(англ.)
• J. S. Birman, T. E. Brendle. Handbook of knot theory / W. Menasco, M. Thistlethwaite. — Elsevier, 2005. — ..(англ.)
• J. Milnor. Singular Points of Complex Hypersurfaces. — Princeton University Press, 1968. — .(англ.)

Посилання

• Про поліноми Чебишова і торичні вузли
• 36 Torus Knots, The Knot Atlas.
• Weisstein, Eric W. Torus Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Fun with the PQ-Torus Knot