Тео́рія ліні́йних стаціона́рних систе́м — розділ теорії динамічних систем, що вивчає поведінку і динамічні властивості лінійних стаціонарних систем (ЛСС). Використовується для вивчення процесів керування технічними системами, для цифрової обробки сигналів і в інших галузях науки і техніки.
Огляд
Визначальними властивостями будь-якої лінійної стаціонарної системи є лінійність і стаціонарність:
- Лінійність означає лінійний зв'язок між входом і виходом системи.
Формально, лінійною називається система, що має таку властивість:
- якщо сигнал на вході системи можна подати зваженою сумою впливів (наприклад, двох) — ::
- то сигнал на виході системи є також зваженою сумою реакцій на кожен із впливів — ::
- для будь-яких сталих A і B.
- Стаціонарність — означає, що вихідний сигнал системи як реакція на будь-який заданий вхідний сигнал однаковий для будь-якого моменту прикладення вхідного сигналу (з точністю до часу запізнювання моменту прикладення вхідного сигналу). У вужчому сенсі — при запізненні вхідного сигналу за часом на деяку величину, вихідний сигнал буде запізнюватися на ту ж саму величину.
Динаміку системи, що має перераховані вище властивості, можна описати однією простою функцією, наприклад, імпульсною перехідною функцією. Вихід системи можна розрахувати як згортку вхідного сигналу з імпульсною перехідною функцією системи. Цей метод аналізу іноді називають аналізом у часовій області. Сказане справедливе і для дискретних систем.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlkxTDB4VVNTNXdibWN2TXpJd2NIZ3RURlJKTG5CdVp3PT0ucG5n.png)
Крім того, будь-яку ЛСС можна описати в частотній області за допомогою її передавальної функції, яка є перетворенням Лапласа імпульсної перехідної функції (або Z-перетворенням у разі дискретних систем). У силу властивостей цих перетворень, вихід системи в частотній області дорівнюватиме добутку передавальної функції і відповідного перетворення вхідного сигналу. Іншими словами, згортці в часовій області відповідає множення в частотній області.
Для всіх ЛСС власні функції є комплексними експонентами. Тобто, якщо вхід системи є комплексним сигналом з деякою комплексною амплітудою
і частотою
, то вихід дорівнюватиме деякому сигналу
з комплексною амплітудою
. Відношення
буде передавальною функцією системи на частоті
.
Оскільки синусоїда є сумою комплексних експонент з комплексно-спряженими частотами, якщо вхід системи — синусоїда, то виходом системи буде також синусоїда, в загальному випадку з іншого амплітудою і фазою, але з тією ж частотою.
Теорія ЛСС добре підходить для опису багатьох систем. Більшість ЛСС значно простіше аналізувати, ніж нестаціонарні і нелінійні системи. Будь-яка система, динаміка якої описується лінійним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами, є лінійною стаціонарною системою. Прикладами таких систем є електричні схеми, зібрані з резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності (RLC-ланцюжки). Вантаж на пружині також можна вважати ЛСС.
Більшість загальних концепцій ЛСС схожі як у разі неперервних систем, так і в разі дискретних систем.
Стаціонарність і лінійні перетворення
Розглянемо нестаціонарну систему, чия імпульсна характеристика є функцією двох змінних. Подивимося, як властивість стаціонарності допоможе нам позбутися від одного виміру. Наприклад, нехай вхідний сигнал — , де аргумент — числа дійсної осі, тобто
. Лінійний оператор
показує, як система відпрацьовує цей вхідний сигнал. Відповідний оператор для деякого набору аргументів є функцією двох змінних:
Для дискретної системи:
Оскільки — лінійний оператор, вплив системи на вхідний сигнал
подається лінійним перетворенням, описуваним таким інтегралом (інтеграл суперпозиції)
Якщо лінійний оператор до всього іншого є і стаціонарним, тоді
Поклавши
отримаємо:
Для стислості запису другий аргумент в зазвичай опускають і інтеграл суперпозиції стає інтегралом згортки:
Таким чином, інтеграл згортки показує як лінійна відпрацьовує будь-який вхідний сигнал. Отримане співвідношення для дискретних систем:
Імпульсна перехідна функція
Якщо до входу системи прикласти вхідний сигнал у вигляді дельта-функції Дірака, кінцевий вихідний сигнал ЛСС являтиме собою імпульсну перехідну функцію системи. Запис:
Для дискретної системи:
(через властивості зсуву дельта-функції).
Зауважимо, що:
тобто — імпульсна перехідна функція системи.
Імпульсна перехідна функція використовується для того, щоб знайти вихідний сигнал системи як реакцію на будь-який вхідний сигнал. Крім того, будь-який вхід можна подати у вигляді суперпозиції дельта-функцій:
Приклавши до входу системи, отримаємо:
(оскільки
лінійна)
(оскільки
стала за t і
лінійна)
(за визначенням
)
В імпульсній перехідній функції міститься вся інформація про динаміку ЛСС.
Власні функції
Власна функція — функція, для якої вихід оператора являє собою ту ж функцію, в загальному випадку з точністю до сталого множника. Запис:
,
де f — власна функція, і — власне число, стала.
Експоненти , де
є власними функціями лінійного стаціонарного оператора.
Доведення
Нехай вхідний сигнал системи . Тоді вихідний сигнал системи
дорівнює:
що еквівалентно такому виразу в силу комутативності згортки:
,
де
залежить тільки від s.
Таким чином, — власна функція ЛСС.
Перетворення Лапласа і Фур'є
є точним способом отримати власні числа з імпульсної перехідної функції. Особливий інтерес становлять чисті синусоїди, тобто експоненти вигляду де
і
— уявна одиниця. Їх зазвичай називають комплексними експонентами, навіть якщо аргумент не має дійсної частини. Перетворення Фур'є
дає власні числа для чисто комплексних синусоїд.
називається передавальною функцією системи, іноді в літературі цей термін застосовують і до
.
Перетворення Лапласа зазвичай використовують для односторонніх сигналів, тобто за нульових початкових умов. Початковий момент часу без втрати загальності приймається за нуль, а перетворення береться від нуля до нескінченності (перетворення, яке виходить при інтегруванні також і до мінус нескінченності, називається двостороннім перетворенням Лапласа).
Перетворення Фур'є використовується для аналізу систем, через які проходять періодичні сигнали, і в багатьох інших випадках — наприклад, для аналізу системи на стійкість.
Через властивості згортки для обох перетворень мають виконуються співвідношення:
Для дискретних систем:
Деякі властивості
Деякі з важливих властивостей будь-якої системи — причинність і стійкість. Для того, щоб система існувала в реальному світі, має виконуватися принцип причинності. Нестійкі системи можуть бути побудованими і іноді навіть бути корисними.
Причинність
Система називається причинною, якщо її вихід залежить тільки від поточного або попереднього прикладеного впливу. Необхідна і достатня умова причинності:
Для дискретних систем:
де — імпульсна перехідна функція. У явному вигляді визначити причинна система чи ні з її перетворення Лапласа в загальному випадку неможливо, оскільки зворотне перетворення Лапласа не є унікальним. Причинність можна визначити, коли задано .
Стійкість
Система є стійкою за обмеженим входом, обмеженим виходом (англ. bounded input, bounded output stable, BIBO stable) якщо для кожного обмеженого входу вихідний сигнал є скінченним. Запис: Якщо
і
(тобто, максимуми абсолютних значень і
скінченні), то система стійка. Необхідна і достатня умова стійкості: імпульсна перехідна характеристика системи,
, має задовольняти виразу
Для дискретних систем:
У частотній області область збіжності має містити уявну вісь .
Див. також
Посилання
- P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part I: system theoretic fundamentals // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — 5.
- P. P. Vaidyanathan and T. Chen. Role of anticausal inverses in multirate filter banks -- Part II: the FIR case, factorizations, and biorthogonal lapped transforms // IEEE Trans. Signal Proc. : journal. — 1995. — 5.
- В.И. Зубов. Теория уравнений управляемого движения. — Л. : ЛГУ, 1980.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет