Теорема Ґріна — Тао

Теорема Ґріна — Тао — теоретико-числове твердження, яке року довели ^[en] і Теренс Тао, згідно з яким послідовність простих чисел містить арифметичні прогресії довільної довжини. Іншими словами, існують арифметичні прогресії простих чисел, що складаються з k членів, де k може бути будь-яким натуральним числом. Доведення полягає в розширенні теореми Семереді.

Формулювання

Хоча теорема відома лише доведенням самого факту наявності як завгодно довгих прогресій у множині простих чисел, проте є значні посилення цього твердження: по-перше, твердження залишається істинним для довільної множини простих чисел додатної щільності (відносно множини всіх простих чисел); по-друге, є окремі верхні оцінки того, наскільки великими можуть бути елементи найменшої прогресії у множині.

Далі у формулюваннях ${\displaystyle \mathbb {P} }$ означає множину простих чисел. Запис ${\displaystyle \log _{[k]}x}$ означає ${\displaystyle \log \log \dots \log x}$, де логарифм береться ${\displaystyle k}$ разів.

Теорема Ґріна — Тао Нехай ${\displaystyle A}$ — множина простих чисел, і її щільність відносно простих ${\displaystyle \delta _{\mathbb {P} }(A)=\lim \sup _{N\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}}$ строго додатна. Тоді для довільного ${\displaystyle k\geqslant 2}$ множина ${\displaystyle A}$ містить арифметичну прогресію довжини ${\displaystyle k}$.

У своїй окремій ранішій праці Ґрін довів результат, що стосується функції розподілу множини ${\displaystyle A}$, але тільки для окремого випадку тричленної прогресії.

Існує стала ${\displaystyle c}$ така, що якщо для множини простих чисел ${\displaystyle A\subset \{1,\dots ,N\}}$ виконано ${\displaystyle |A|>c{\frac {N{\sqrt {\log _{[5]}N}}}{\log {N}{\sqrt {\log _{[4]}N}}}}}$, то вона містить тричленну арифметичну прогресію.

Оскільки необхідна функція асимптотично менша від кількості простих чисел на відрізку ${\displaystyle [1,n]}$, то теорема залишається істинною для нескінченних множин додатної щільності, коли ${\displaystyle |A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta {\frac {N}{\log N}}}$, ${\displaystyle \delta >0}$. Таким чином, можна переформулювати останню теорему для фіксованої щільності.

Існує стала ${\displaystyle c}$ така, що для довільної множини простих чисел ${\displaystyle A\subset \{1,\dots ,N\}}$ та її щільності ${\displaystyle \delta ={\frac {|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb {P} \cap \{1,\dots ,N\}|}}}$ виконуватиметься наслідок: якщо ${\displaystyle N\geqslant e^{e^{e^{\left(\left(c/\delta ^{2}\right)^{c/\delta ^{2}}\right)}}}}$, то ${\displaystyle A}$ містить тричленну арифметичну прогресію.

приклади

• 18 січня 2007 року Ярослав Вроблевський знайшов перший випадок арифметичної прогресії з 24 простих чисел:

  468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · n, від n = 0 до 23.

Тут стала 223 092 870 — це добуток простих чисел, не більших 23 (див. прайморіал).

• 17 травня 2008 року Вроблевський та Раанан Чермоні знайшли послідовність із 25 простих чисел:

  6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · n, від n = 0 до 24.

• 12 квітня 2010 року Бенуа Перішон, користуючись програмою Вроблевського та Джефа Рейнолдса в проекті розподілених обчислень PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 26 простих чисел:

  43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · n, від n = 0 до 25 (послідовність A204189 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Варіації та узагальнення

2006 року Тао і узагальнили результат до поліноміальних прогресій. Точніше, для будь-яких даних P₁, …, P_k однієї змінної m із нульовим сталим членом є нескінченно багато цілих x, m таких, що x + P₁(m), …, x + P_k(m) — прості числа. Особливий випадок, коли поліноми — це m, 2m, …, km, тягне за собою попередній результат (існують арифметичні прогресії простих чисел довжини k).

Див. також

• Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії
• Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії
• Арифметична комбінаторика
• Теорема Семереді

Примітки

1. ; Tao, Terence (2008), The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals of Mathematics, 167 (2): 481—547, arXiv:math.NT/0404188, doi:10.4007/annals.2008.167.481
2. И. Д. Шкредов, Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях [ 2018-07-24 у Wayback Machine.], с. 117.
3. (2005), Roth's theorem in the primes, Annals of Mathematics, 161 (3): 1609—1636, arXiv:math.NT/0302311, doi:10.4007/annals.2005.161.1609.
4. Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records [ 2014-07-14 у Wayback Machine.].
5. Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2008), The primes contain arbitrarily long polynomial progressions, , 201: 213—305, arXiv:math.NT/0610050, doi:10.1007/s11511-008-0032-5.

Посилання

• MathWorld news article on proof(англ.)
• Primes in Arithmetic Progression Records(англ.)