В лінійній алгебрі і функціональному аналізі для лінійного оператора
Ядром лінійного оператора називається наступна підмножина :
- вона утворює лінійний підпростір в просторі
Образом лінійного відображення називається наступна підмножина :
- вона утворює лінійний підпростір в просторі
Ядро оператора ще називають нуль-простором оператора і позначають:
Властивості
- Два елементи з V мають однаковий образ в W тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру L:
Тобто образ L є ізоморфним до фактор-простору в V утвореного ядром:
- (див. Першу теорему про ізоморфізми для лінійних просторів).
- Якщо в V визначений скалярний добуток, тоді V / ker(L) може бути представленим як ортогональне доповнення до ker(L) в V.
Простори скінченної розмірності і матриці
Коли V та W є просторами скінченної розмірності n та m відповідно, тоді в них можна вибрати базиси і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру m-на-n:
Визначення ядра матриці записується як , тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної СЛАР.
Rank-nullity теорема
Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):
Число називається рангом
і записується як
чи
Ранг відображення збігається з рангом матриці відображення.
Основна теорема лінійної алгебри
Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні підпростори:
Назва Визначення Простір в якому існує Розмірність простір стовпців чи образ im(A) чи range(A) r нульпростір чи ядро ker(A) чи null(A) n — r простір рядків чи кообраз([en]) im(AT) чи range(AT) r лівий нульпростір чи коядро ker(AT) чи null(AT) m — r
- В
, тобто, нульпростір є ортогональним доповненням простору рядків.
- В
, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V linijnij algebri i funkcionalnomu analizi dlya linijnogo operatora L V W displaystyle L V to W Yadrom linijnogo operatora nazivayetsya nastupna pidmnozhina V displaystyle V ker L v V L v 0 displaystyle ker L v in V L v 0 vona utvoryuye linijnij pidprostir v prostori V displaystyle V Obrazom linijnogo vidobrazhennya nazivayetsya nastupna pidmnozhina W displaystyle W im L w W w L v v V displaystyle operatorname im L w in W w L v v in V vona utvoryuye linijnij pidprostir v prostori W displaystyle W Yadro operatora she nazivayut nul prostorom operatora i poznachayut null L displaystyle operatorname null L VlastivostiDva elementi z V mayut odnakovij obraz v W todi i tilki todi koli yih riznicya nalezhit yadru L L v L w v w ker L displaystyle L v L w quad iff quad v w in ker L Tobto obraz L ye izomorfnim do faktor prostoru v V utvorenogo yadrom im L V ker L displaystyle text im L cong V ker L text div Pershu teoremu pro izomorfizmi dlya linijnih prostoriv Yaksho v V viznachenij skalyarnij dobutok todi V ker L mozhe buti predstavlenim yak ortogonalne dopovnennya do ker L v V Prostori skinchennoyi rozmirnosti i matriciKoli V ta W ye prostorami skinchennoyi rozmirnosti n ta m vidpovidno todi v nih mozhna vibrati bazisi i zadati linijnij operator L mnozhennyam na matricyu A rozmiru m na n v A v displaystyle v mapsto mathbf A v Viznachennya yadra matrici zapisuyetsya yak ker A x V A x 0 displaystyle ker mathbf A x in V mathbf A x 0 tobto ekvivalentno mnozhini rozv yazkiv odnoridnoyi SLAR Rank nullity teorema Mizh rozmirnostyami obrazu i yadra isnuye nastupne spivvidnoshennya rank nullity theorem dim ker L dim im L dim V displaystyle dim ker L dim operatorname im L dim V Chislo dim im L displaystyle dim operatorname im L nazivayetsya rangom L displaystyle L i zapisuyetsya yak rank L displaystyle operatorname rank L chi rk L displaystyle operatorname rk L Rang vidobrazhennya zbigayetsya z rangom matrici vidobrazhennya Osnovna teorema linijnoyi algebri Matricya A rank A r vvodit chotiri fundamentalni pidprostori Nazva Viznachennya Prostir v yakomu isnuye Rozmirnist prostir stovpciv chi obraz im A chi range A R m displaystyle mathbb R m r nulprostir chi yadro ker A chi null A R n displaystyle mathbb R n n r prostir ryadkiv chi koobraz en im AT chi range AT R n displaystyle mathbb R n r livij nulprostir chi koyadro ker AT chi null AT R m displaystyle mathbb R m m r dd V R n ker A i m A T displaystyle mathbb R n ker A mathrm im A T perp tobto nulprostir ye ortogonalnim dopovnennyam prostoru ryadkiv V R m ker A T i m A displaystyle mathbb R m ker A T mathrm im A perp tobto livij nulprostir ye ortogonalnim dopovnennyam prostoru stovpciv Div takozhProyekcijna matricyaDzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros