Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.
Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.
Означення норми
Нормою у векторному просторі над полем
називають відображення
що задовольняє наступним умовам:
тільки при
(невід'ємність)
де
— скаляр (однорідність)
(нерівність трикутника)
Ці умови також відомі як аксіоми норми.
Властивості
За допомогою норми векторний простір
одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань
Зазначимо, що для будь-яких
виконується
метрики на векторному просторі
з такою властивістю називаються трансляційно інваріантними. Найважливіший спеціальний випадок — це коли метричний простір
є відносно метрики означеної нормою, тобто коли
— повний нормований лінійний простір, або банахів простір.
Геометричний зміст норми
З геометричної думки, задання норми на — це те й саме, що і задання її одиничної кулі
тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору
що містить нульовий вектор
серед своїх внутрішніх точок.
Приклади
Евклідова норма
Нехай — це
-вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на
визначається за формулою
де
— це стандартний скалярний добуток на
Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з (нерівності Коші-Буняковського) у
Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.
Супремум норма
Нехай але цього разу визначимо норму за формулою
(це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб
що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між
і
Манхетенська норма
Нехай але цього разу визначимо норму за формулою
Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є
-вимірного простору полярним до
-вимірного куба.
Еквівалентність норм
Нехай — дві норми визначені на одному і тому ж просторі
. Якщо існує таке дійсне
що
для будь-якого
то норма
називається підпорядкованою нормі
Якщо водночас і норма
підпорядкована нормі
, то такі дві норми називаються еквівалентними.
Джерела
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Березанский Ю. М., , Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)
В іншому мовному розділі є повніша стаття Norm (mathematics)(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської. (січень 2018)
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет