Напівпрямий добуток

Напівпрямий добуток — конструкція в теорії груп, що дозволяє будувати нову групу за двома групами ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$, і дією ${\displaystyle \phi }$ групи ${\displaystyle H}$ в просторі групи ${\displaystyle N}$, що зберігає її групову структуру.

Напівпрямий добуток груп ${\displaystyle N}$ і ${\displaystyle H}$ над ${\displaystyle \phi }$ звичайно позначається ${\displaystyle N\rtimes _{\phi }H}$.

Конструкція

Нехай задана дія групи ${\displaystyle H}$ на просторі групи ${\displaystyle N}$ із збереженням її групової структури. Це означає, що задано гомоморфізм ${\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}$ групи ${\displaystyle H}$ в групу автоморфізмів групи ${\displaystyle N}$. Автоморфізм групи ${\displaystyle N}$, що відповідає елементу ${\displaystyle h}$ із ${\displaystyle H}$ при гомоморфізмі ${\displaystyle \phi }$ позначимо ${\displaystyle \phi _{h}}$. Як група ${\displaystyle G}$ — напівпрямий добуток груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ над гомоморфізмом ${\displaystyle \phi }$ — береться множина ${\displaystyle N\times H}$ з бінарної операцією ${\displaystyle *}$, яка діє за правилом:

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})}$ для довільних ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$, ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$.

Властивості

1. Групи ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ природно вкладені в ${\displaystyle G}$, причому ${\displaystyle N}$ — нормальна підгрупа в ${\displaystyle G}$.
2. Кожен елемент ${\displaystyle g\in G}$ однозначно розкладемо у добуток ${\displaystyle g=nh}$, де ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle n}$ — елементи груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ відповідно. (Ця властивість виправдовує назву групи ${\displaystyle G}$ як напівпрямого добутку груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$.)
3. Задана дія ${\displaystyle \phi }$ груп ${\displaystyle H}$ на групі ${\displaystyle N}$ збігається з дією ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle N}$ спряженнями (в групі ${\displaystyle G}$).

Будь-яка група з властивостями 1-3 ізоморфна групі ${\displaystyle G}$ (властивість універсальності напівпрямогу добутку груп).

Обґрунтування  

• Асоціативність операції перевіряється безпосередньо. Використовуються співвідношення

${\displaystyle \phi _{h_{1}}\circ \phi _{h_{2}}(n)=\phi _{h_{1}h_{2}}(n)}$ и ${\displaystyle \,\phi _{h}(n_{1})\phi _{h}(n_{2})=\phi _{h}(n_{1}n_{2})}$.

• Одиницею групи G служить елемент ${\displaystyle \,(1_{N},1_{H})}$, де ${\displaystyle 1_{N}}$ и ${\displaystyle 1_{H}}$ - одиниці в групах N и H відповідно.
  (Використовується рівність ${\displaystyle \phi _{1_{H}}(n)=n}$.)
• Елемент, обернений до ${\displaystyle \,(n,h)}$, рівний ${\displaystyle (\,\phi _{h}^{-1}(n^{-1}),h^{-1})}$.
  • Для доведення того, що цей елемент є оберненим зліва, використовується рівність ${\displaystyle \phi _{h}^{-1}(n^{-1})=\phi _{h^{-1}}(n)^{-1}}$.
• Відображення ${\displaystyle n\to (n,1_{H})}$ и ${\displaystyle h\to (1_{N},h)}$ є гомоморфними вкладеннями груп N і H в групу G. Їх образи мають єдиний спільний елемент - одиницю групи G.
• Відображення ${\displaystyle (n,h)\to h}$ є епиморфізмом групи G на групу H з ядром N. Звідси слідує, що група N є нормальною в G.
• Рівність ${\displaystyle \,(n,h)=(n,1)*(1,h)}$ дає розклад довільного елемента групи G у добуток елементів n і h з груп N і H відповідно. З цієї ж рівності випливає і єдиність розпаду.
• Рівність ${\displaystyle (\phi _{h}(n),1)=(1,h)(n,1)(1,h)^{-1}}$ показує, що дія групи H на N, котра задається гомоморфізмом ${\displaystyle \phi }$ співпадає з дією H на N спряженням.
• Щоб довести універсальну властивість напівпрямого добутку, треба скористатися формулою ${\displaystyle (n_{1}h_{1})\cdot (n_{2}h_{2})=n_{1}(h_{1}n_{2}h_{1}^{-1})\cdot (h_{1}h_{2})}$.
  З неї випливає, що добуток у групі G с однозначним NH-розкладом (при умові нормальності групи N) повністю визначається правилами множення всередині підгруп N і H и правилами спряження елементів із N елементами із H.

Приклад

Група ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ діє на ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$ (розглядається як адитивна група відповідного кільця) чотирма різними способами:

${\displaystyle \phi _{h}(n)=a^{h}n}$, де ${\displaystyle a}$ — фіксований ненульовий елемент ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}}$, ${\displaystyle h\in \mathbb {Z} _{4}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{5}}$.

Відповідно, на множині ${\displaystyle \mathbb {Z} _{5}\times \mathbb {Z} _{4}}$ можна ввести 4 структури групи — напівпрямого добутку:

1. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+n_{2},h_{1}+h_{2})\,}$
2. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+(-1)^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$
3. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+2^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$
4. ${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}+3^{h_{1}}n_{2},h_{1}+h_{2})}$

Можна показати, що останні дві групи ізоморфні, а решта — ні, а також, що ці приклади перераховують всі групи порядку 20, що містять елемент порядку 4 (при цьому використовуються теореми Силова).

Подібним чином напівпрямі добутки груп використовуються для класифікації скінченних груп.

Див. також

• Прямий добуток груп

Джерела

Українською

• (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)

• ^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)