Модулярна функція

Модулярна форма — голоморфна функція визначена на верхній комплексній півплощині (тобто множині ${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\;|y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$), що є інваріантною щодо перетворень модулярної групи чи деякої її підгрупи і задовольняє умові голоморфності в параболічних точках. Модулярні форми і модулярні функції широко використовуються в теорії чисел, а також в алгебраїчній топології і теорії струн.

Визначення

Допоміжні визначення

Нехай ${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} )}$ — квадратна матриця порядку 2 з цілочисельними елементами і визначником рівним одиниці. Для деякого ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ визначимо функцію ${\displaystyle \gamma z=\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}$. Також позначимо:

${\displaystyle \Gamma (N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} ):a\equiv 1,b\equiv 0,c\equiv 0,d\equiv 1,{\pmod {N}}\right\}.}$

Дані групи називаються головними конгруентними підгрупами рівня N. Також використовується позначення ${\displaystyle \Gamma (1)=SL_{2}(\mathbf {Z} )}$. Довільна група ${\displaystyle \Gamma :\Gamma (N)\subseteq \Gamma \subseteq \Gamma (1)}$ називається конгруентною. Нехай ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ — деякий елемент конгруентної групи. Якщо ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\gamma )=\pm 2}$ (де ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\cdot )}$ — слід матриці) то цей елемент називається параболічним, а відповідне перетворення параболічним. Точка ${\displaystyle s\in \mathbb {R} \cup {\infty }}$ називається параболічною, якщо існує параболічний елемент ${\displaystyle \gamma \in \Gamma ,\,\gamma \neq {I,-I}}$, такий що ${\displaystyle \gamma s=s\,}$.

Модулярна форма

Нехай ${\displaystyle \Gamma }$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ називається модулярною формою степеня (ваги) k для групи ${\displaystyle \Gamma }$, якщо виконуються умови:

1. ${\displaystyle f(\gamma z)=(cz+d)^{k}f(z),\,\forall \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma }$;
2. ${\displaystyle f(z)}$ — голоморфна в ${\displaystyle \mathbb {H} }$;
3. ${\displaystyle f(z)}$ голоморфна в параболічних точках групи ${\displaystyle \Gamma }$.

Модулярна функція

Нехай ${\displaystyle \Gamma }$ — деяка конгруентна група. Функція f визначена на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ називається модулярною функцією для групи ${\displaystyle \Gamma }$, якщо виконуються умови:

1. ${\displaystyle f(z)}$ є інваріантною щодо дії групи ${\displaystyle \Gamma }$, тобто ${\displaystyle f(\gamma z)=f(z),\,\forall \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma }$;
2. ${\displaystyle f(z)}$ — мероморфна в ${\displaystyle \mathbb {H} }$;
3. ${\displaystyle f(z)}$ — мероморфна в параболічних точках групи ${\displaystyle \Gamma }$.

Випадок групи ${\displaystyle \Gamma (1)}$

Модулярна група ${\displaystyle \Gamma (1)/\{I,-I\}\,}$ породжується двома матрицями ${\displaystyle T=\ \left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)\,}$ і ${\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}}\right)}$. Тож для перевірки виконання перших умов визначень модулярних функцій і форм достатньо перевірити виконання умов ${\displaystyle \ f(z)=f(z+1)}$ і ${\displaystyle \ f(-1/z)=z^{k}f(z)}$. Параболічними точками даної групи є точки ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$ і всі вони є еквівалентними, тобто ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} \cup {\infty }}$ існує такий ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$, що ${\displaystyle \gamma a=b}$. Тож достатньо перевірити голоморфність чи мероморфність лише в одній з цих точок. Найзручніше для цього взяти ${\displaystyle \{\infty \}}$. Завдяки властивості ${\displaystyle \ f(z)=f(z+1)}$ функція f(z) може бути записана через ряд Фур'є через ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$.

Оскільки ${\displaystyle \exp }$ на всій комплексній площині не рівний нулю то також ${\displaystyle q\neq 0}$ але, ${\displaystyle \exp(w)\to 0}$ коли ${\displaystyle w\to -\infty }$ (по від'ємній дійсній осі), отже ${\displaystyle q\to 0}$ коли ${\displaystyle 2\pi iz\to -\infty }$, тобто коли ${\displaystyle z\to i\infty }$ (по додатній уявній осі).

Функція є мероморфною в безмежності якщо:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}\exp(2\pi inz)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n}.}$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти ${\displaystyle c_{n}}$ — коефіцієнти Фур'є функції ${\displaystyle f}$, Якщо ${\displaystyle c_{n}=0}$ при ${\displaystyle n<0}$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Пояснення

Для ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (1)}$ модулярну форму можна також означити, як однорідну голоморфну функцію F на множині ґраток в ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Тут ґратка - це підгрупа ${\displaystyle \Lambda \cong \mathbb {Z} ^{2}}$ в ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$, породжена двома числами ${\displaystyle \omega _{1}}$, ${\displaystyle \omega _{2}}$, які утворюють базу ${\displaystyle \mathbb {C} }$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Однорідність F означає, що існує ціле ${\displaystyle k\geq 0}$, таке, що ${\displaystyle F(\lambda \Lambda )=\lambda ^{-k}F(\Lambda )}$ для всіх ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{\times }}$ і всіх ґраток ${\displaystyle \Lambda }$. Досить обмежитись парною вагою k, інакше ${\displaystyle F\equiv 0}$. За допомогою гомотетії ${\displaystyle \lambda \cdot -}$ можна зробити, щоб ${\displaystyle \omega _{2}=1}$, а ${\displaystyle \omega _{1}\in \mathbb {H} =\{\tau \in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \tau >0\}}$ було параметром ґратки. Функція ${\displaystyle f:\mathbb {H} \to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle f(\tau )=F(\mathbb {Z} .\tau +\mathbb {Z} .1)}$ має автоморфну властивість, еквівалентну однорідності F. Голоморфність F означає голоморфність f і поліноміальну обмеженість росту f поблизу межі ${\displaystyle \mathbb {H} }$. З обмеженості випливає, що ${\displaystyle f(x+iy)=O(1)}$ при ${\displaystyle y\to \infty }$ і ${\displaystyle f(x+iy)=O(y^{-k})}$ при ${\displaystyle y\to 0}$.

Загальний випадок

Якщо ${\displaystyle \Gamma }$ — деяка підгрупа зі скінченним індексом групи ${\displaystyle \Gamma (1)}$, то множина параболічних точок теж рівна ${\displaystyle \mathbb {Q} \cup \{\infty \}}$, але в цьому випадку вони можуть не бути еквівалентними, тож умови голоморфності і мероморфності слід перевіряти окремо для кожного класу еквівалентності. Для точки ${\displaystyle \{\infty \}}$ стабілізатор породжується деякою матрицею ${\displaystyle T^{M}=\left({\begin{array}{cc}1&M\\0&1\end{array}}\right)\,}$. Оскільки f(z) інваріантна відносно ${\displaystyle T^{M}}$, то ${\displaystyle \ f(z)=f(z+M)}$. Тому якщо визначити ${\displaystyle q=\exp \left({\frac {2\pi iz}{M}}\right)}$ то можна дати ознаки мероморфності і голоморфності подібні до попередніх.

функція є мероморфною в безмежності якщо:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n}.}$

на всьому відкритому одиничному крузі. Коефіцієнти ${\displaystyle c_{n}}$ — коефіцієнти Фур'є функції ${\displaystyle f}$, Якщо ${\displaystyle c_{n}=0}$ при ${\displaystyle n<0}$ на всьому відкритому одиничному крузі то функція є голоморфною в безмежності.

Якщо точка ${\displaystyle \tau \in \mathbb {Q} }$ не є еквівалентна безмежності в групі ${\displaystyle \Gamma }$, тоді можна знайти такий ${\displaystyle \gamma \in \Gamma (1)}$, що ${\displaystyle \tau =\gamma (\infty )}$. Тоді функція ${\displaystyle F(z)=f(\gamma z)}$ є інваріантною щодо групи ${\displaystyle \gamma \Gamma \gamma ^{-1}\subset \Gamma (1)}$. Тоді ${\displaystyle f(z)}$ буде голоморфною (мероморфною) в точці ${\displaystyle \tau \in \mathbb {Q} }$, якщо ${\displaystyle F(z)}$ буде голоморфною (мероморфною) в безмежності.

Для ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (N)}$ говоримо про модулярні форми рівня N. Модулярні форми ваги k і рівня ${\displaystyle \Gamma }$ утворюють скінченновимірний простір ${\displaystyle M_{k}(\Gamma )}$ (нульовий при ${\displaystyle k<0}$) і градуйована алгебра ${\displaystyle M_{*}(\Gamma )=\oplus _{k\geq 0}M_{k}(\Gamma )}$ скінченнопороджена над ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Наприклад, ${\displaystyle M_{k}(\Gamma (1))=0}$ для непарних k, а для парних k ${\displaystyle \dim \,M_{k}(\Gamma (1))=[k/12]}$ при ${\displaystyle k\equiv 2{\pmod {12}}}$ і ${\displaystyle \dim \,M_{k}(\Gamma (1))=[k/12]+1}$ інакше. Більш загально, якщо ${\displaystyle \Gamma }$ - дискретна підгрупа ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$, і ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} }$ має скінченний гіперболічний об'єм V (стосовно 2-форми ${\displaystyle y^{-2}dx\,dy}$), то ${\displaystyle \dim \,M_{k}(\Gamma )\leq kV/(4\pi )+1}$ для всіх ${\displaystyle k\geq 0}$. Зокрема, для підгрупи, що містить -1, ${\displaystyle \Gamma \subset \Gamma (1)}$, скінченного індексу r, ${\displaystyle \dim \,M_{k}(\Gamma )\leq [kr/12]+1}$.

Приклади

• Одними з найпростіших прикладів модулярних форм є ряди Ейзенштейна ваги ${\displaystyle k}$, що визначаються для парного ${\displaystyle k>2}$:

${\displaystyle G_{k}(\tau )={\frac {1}{2}}\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\backslash (0,0)}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}}.}$

де ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$.

• Нехай

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-4},\qquad g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m+n\tau )^{-6}}$ — модулярні інваріанти, ${\displaystyle \Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}$ — модулярний дискримінант.

Визначимо також:

${\displaystyle j(\tau )=1728{g_{2}^{3} \over \Delta }}$ — основний модулярний інваріант (j-інваріант).

Виконуються рівності:

${\displaystyle g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{-1})=\tau ^{4}g_{2}(\tau )}$

${\displaystyle \Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{-1})=\tau ^{12}\Delta (\tau )}$

Також дані функції задовольняють відповідні властивості голоморфності. Тобто ${\displaystyle g_{2}}$ — модулярна форма ваги 4, ${\displaystyle \Delta }$ — модулярна форма ваги 12. Відповідно ${\displaystyle g_{2}^{3}}$ — модулярна форма ваги 12, а ${\displaystyle j(z)}$ — модулярна функція. Дані функції мають важливе застосування в теорії еліптичних функцій і еліптичних кривих.

Пояснення

При дії групи ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$ з вагою ${\displaystyle k>0}$ на голоморфних функціях ${\displaystyle \mathbb {H} \to \mathbb {C} }$, ${\displaystyle f\mapsto f|_{k}\gamma }$, ${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}$,

${\displaystyle (f|_{k}\gamma )(\tau )=(c\tau +d)^{-k}f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right),}$

стабілізатор точки 1 (постійної функції) при парному k - це матриці з ${\displaystyle c=0}$, ${\displaystyle a=d=\pm 1}$. При дії ${\displaystyle \Gamma (1)=\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$ цей стабілізатор є ${\displaystyle \Gamma _{\infty }=\{\pm {\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}\mid n\in \mathbb {Z} \}}$. Множина класів суміжності ${\displaystyle \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma (1)}$ перебуває в бієкції з ${\displaystyle \{(c,d)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid }$нсд${\displaystyle (c,d)=1\}/(\pm 1)}$. Ряд Айзенштайна

${\displaystyle E_{k}(\tau )=\sum _{\gamma \in \Gamma _{\infty }\backslash \Gamma (1)}1|_{k}\gamma ={\frac {1}{2}}\sum _{c,d\in \mathbb {Z} }^{(c,d)=1}{\frac {1}{(c\tau +d)^{k}}}}$

абсолютно збігається при ${\displaystyle k>2}$ і є нерухомою точкою дії ${\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}$, тобто модулярною формою ваги k рівня 1. Комутативне кільце ${\displaystyle M_{*}(\Gamma (1))=\mathbb {C} [E_{4},E_{6}]}$.

Безпосередньо однорідну функцію від ґратки можна написати як ${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=(1/2)\sum _{\lambda \in \Lambda \backslash 0}\lambda ^{-k}}$, ${\displaystyle k>2}$. Звуження її на ґратки ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} .\tau +\mathbb {Z} .1}$, ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$, дає модулярну форму ваги k рівня 1

${\displaystyle G_{k}(\tau )={\frac {1}{2}}\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }^{(m,n)\neq (0,0)}{\frac {1}{(m\tau +n)^{k}}},}$

втім, ${\displaystyle G_{k}(\tau )=\zeta (k)E_{k}(\tau )}$. Використовуючи ще одну нормалізацію ${\displaystyle \mathbb {G} _{k}(\tau )=(k-1)!(2\pi i)^{-k}G_{k}(\tau )}$, знаходимо розвинення її в ряд Фур'є від ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$: ${\displaystyle \mathbb {G} _{k}(\tau )=-B_{k}/(2k)+\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)q^{n}}$, де ${\displaystyle B_{k}}$ — число Бернуллі і ${\displaystyle \sigma _{k-1}(n)=\sum _{d|n}d^{k-1}}$.

Квадратичні форми

Нехай ${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp(\pi in^{2}\tau )}$ — тета-функція Якобі, ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$. Тоді ${\displaystyle \theta ^{2}}$ — модулярна форма ваги 1 рівня 4. З одновимірності певного простору модулярних форм випливає, що число представлень цілого ${\displaystyle n>0}$ як суми квадратів двох цілих чисел є ${\displaystyle 4\sum _{d|n,\,d>0}^{(d,2)=1}(-1)^{(d-1)/2}}$. З того, що ${\displaystyle \theta ^{4}}$ - модулярна форма ваги 2 рівня 4 виводиться: число представлень цілого ${\displaystyle n>0}$ як суми квадратів чотирьох цілих чисел є ${\displaystyle 8\sum _{d|n,\,d>0}^{d\not \equiv 0{\pmod {4}}}d}$. Узагальнюючи, розглянемо додатно визначену квадратичну форму ${\displaystyle Q:\mathbb {Z} ^{m}\to \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle Q(x)=x^{t}Ax/2}$, де ${\displaystyle A\in \mathrm {Mat} (m,\mathbb {Z} )}$ - симетрична додатно визначена матриця з парними діагональними елементами. З нею асоціюється тета-ряд

${\displaystyle \Theta _{Q}(\tau )=\sum _{x_{1},\dots ,x_{m}\in \mathbb {Z} }q^{Q(x_{1},\dots ,x_{m})}=\sum _{n=0}^{\infty }R_{Q}(n)q^{n},}$

де ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$ і ${\displaystyle R_{Q}(n)=\#\{x\in \mathbb {Z} ^{m}\mid Q(x)=n\}}$. Нехай N — найменше додатне ціле, таке, що ${\displaystyle NA^{-1}\in \mathrm {Mat} (m,\mathbb {Z} )}$ має парні діагональні елементи. Тоді для ${\displaystyle m=2k}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} _{>0}}$, функція ${\displaystyle \Theta _{Q}}$ є модулярною формою ваги k рівня N. Зокрема, для ${\displaystyle \det A=1}$, ${\displaystyle \Theta _{Q}}$ є модулярною формою ваги k рівня 1. Наприклад, це вірно для ґратки ${\displaystyle E_{8}}$ (${\displaystyle m=8}$) або ґратки Лича (${\displaystyle m=24}$).

Оператори Геке

На просторі модулярних форм ваги k рівня 1 діє оператор Геке ${\displaystyle T_{m}}$, ${\displaystyle m\geq 1}$. Він переводить однорідну функцію F степеня -k від ґратки ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ в суму ${\displaystyle T_{m}F(\Lambda )=m^{k-1}\sum F(\Lambda ')}$, де ${\displaystyle \Lambda '\subset \Lambda }$ пробігає підґратки індексу m. Константа нормалізації вибрана так, щоби ряди з цілими коефіцієнтами Фур'є переходили в такі ж. Скінченна множина ґраток ${\displaystyle \Lambda '\subset \Lambda }$ індексу m ототожнюється з множиною ${\displaystyle \Gamma (1)\backslash {\mathcal {M}}_{m}}$, де ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{m}\subset \mathrm {Mat} (2,\mathbb {Z} )}$ - множина матриць ${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ з визначником m. Тому

${\displaystyle T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{\gamma \in \Gamma (1)\backslash {\mathcal {M}}_{m}}(c\tau +d)^{-k}f\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right).}$

За представників класів суміжності можна обрати цілочисельні матриці ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}}$ з ${\displaystyle ad=m}$, ${\displaystyle 0\leq b<d}$. Тому

${\displaystyle T_{m}f(\tau )=m^{k-1}\sum _{ad=m}^{d>0}d^{-k}\sum _{b{\pmod {d}}}f((a\tau +b)/d).}$

Всі оператори ${\displaystyle T_{m}}$ комутують і є нормальними відносно скалярного добутку Петерсона, тож ${\displaystyle M_{k}(\Gamma (1))}$ має базу спільних власних векторів (Геке). Ці вектори f можна нормалізувати умовою ${\displaystyle a_{1}=1}$ для ${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}q^{n}}$ і нормалізований власний базис є єдиним. Прикладами нормалізованих власних функцій слугують ${\displaystyle \Delta }$ і ${\displaystyle \mathbb {G} _{k}}$, ${\displaystyle k\geq 4}$. З кожною модулярною формою ${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}q^{n}}$ ваги k пов'язується ряд Діріхле ${\displaystyle L(f,s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$. Якщо f - нормалізована власна функція Геке, то

${\displaystyle L(f,s)=\prod 1/(1-a_{p}p^{-s}+p^{k-1-2s}),}$

де p пробігає прості числа. Для довільної модулярної форми f з ${\displaystyle a_{0}=0}$ ряд Діріхле продовжується до цілої функції від s і задовольняє функціональному рівнянню ${\displaystyle L^{*}(f,k-s)=(-1)^{k/2}L^{*}(f,s)}$, де ${\displaystyle L^{*}(f,s)=(2\pi )^{-s}\Gamma (s)L(f,s)}$ - теж ціла функція.

Застосування

З гіпотези Шимури — Таніями — Вейля, доведеної Вайлсом, Тейлором, Брейлем, Конрадом, Даймондом наприкінці двадцятого століття (кожна еліптична крива над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ може бути параметризована модулярними функціями) випливає (Рібет) велика теорема Ферма: для ${\displaystyle n>2}$ не існує додатних цілих a, b, c з ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$.

Посилання

• J. S. Milne, Modular functions and modular forms, курс лекцій.
• D. Zagier, Elliptic modular forms and their applications, The 1-2-3 of modular forms, Universitext, Springer, Berlin, 2008, pp. 1-103.

Література

• Сарнак П. Модулярные формы и их приложения, М: ФАЗИС, 1998.
• Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York.
• Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge.
• D. Mumford, Tata lectures on theta. I, Progress in Mathematics, vol. 28, Birkhäuser Boston, MA, 1983.
• Ю.И. Манин, А.А. Панчишкин, Введение в современную теорию чисел, Москва, МЦНМО, 2009.
• Енциклопедія Сучасної України