Матриця одиниць

Не плутати з одиничною матрицею.

У математиці, матриця одиниць — це матриця, кожен елемент якої дорівнює одиниці. Приклади:

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

Властивості

Для квадратної n×n-матриці одиниць J істинними є такі твердження:

• Слід матриці J дорівнює n, а визначник дорівнює 1 при n = 1, і 0 у всіх інших випадках.
• Ранг матриці J дорівнює 1.
• У матриці J тільки два власні значення: n (некратне) і 0 (кратності n-1).
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$ для ${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$
• Матриця ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J}$ є ідемпотентною.
• Експонента матриці одиниць подається у вигляді: ${\displaystyle \exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.}$
• J є одиничним елементом відносно добутку Адамара.

Див. також

• Бінарна матриця
• Нульова матриця
• Одинична матриця

Примітки

1. Horn, Roger A.; (2012), 0.2.8 The all-ones matrix and vector, , Cambridge University Press, с. 8, ISBN , архів оригіналу за 24 квітня 2022, процитовано 4 липня 2021.
2. (2013), , Springer, Lemma 1.4, p. 4, ISBN , архів оригіналу за 1 травня 2022, процитовано 4 липня 2021.
3. Stanley, (2013); Horn та Johnson, (2012), p. 65 [ 24 квітня 2022 у Wayback Machine.].
4. Timm, Neil H. (2002), , Springer texts in statistics, Springer, с. 30, ISBN , архів оригіналу за 24 квітня 2022, процитовано 4 липня 2021.
5. Smith, Jonathan D. H. (2011), , CRC Press, с. 77, ISBN , архів оригіналу за 24 квітня 2022, процитовано 4 липня 2021.