Колови́й рух або рух по ко́лу (англ. circular motion) — механічний рух у вигляді обертання навколо фіксованої осі матеріальної точки або тіла, коли вісь обертання в обраній системі відліку не проходить через цю матеріальну точку чи центр тіла. У цьому випадку траєкторія руху точки або усіх точок тіла є колом, коловою орбітою. Рух може бути рівномірним (зі сталою кутовою швидкістю) або нерівномірним (із змінною кутовою швидкістю). Обертання тривимірного тіла навколо фіксованої осі включає коловий рух кожної його частки. У загальнішому випадку про рух по колу об'єкта можна говорити якщо знехтувати його розмірами, а розглядати лише рух по колу його центра мас.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN4TDFWdWFXWnZjbTFmWTJseVkzVnNZWEpmYlc5MGFXOXVMbk4yWnk4eU9UQndlQzFWYm1sbWIzSnRYMk5wY21OMWJHRnlYMjF2ZEdsdmJpNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Приклади колового руху: штучний супутник на геосинхронній орбіті, тягарець на шнурку при обертанні по колу (наприклад, метання молота), болід, що рухається трасою на повороті, виконаному по коловій дузі, електрон, що рухається перпендикулярно до постійного магнітного поля тощо.
Рух по колу є прискореним, навіть якщо відбувається з постійною кутовою швидкістю, бо вектор швидкості об'єкта постійно змінює напрямок. Така зміна напрямку швидкості потребує доцентрового прискорення рухомого об'єкта доцентровою силою, яка штовхає його у напрямку до центра колової орбіти. Без цього прискорення об'єкт рухатиметься прямолінійно відповідно до законів Ньютона.
Формули для рівномірного колового руху
Для руху по колу радіуса R довжина кола буде C = 2π R. Якщо період обертання є T, то кутова швидкість обертання ω буде дорівнювати:
Швидкість руху об'єкта дорівнює
Кут повороту θ за час t становить:
Прискорення, що спричиняє зміну напряму швидкості, можна визначити, якщо врахувати, що швидкість робить повну зміну напряму за цей же час T, за який об'єкт робить один повний оберт. Тоді вектор швидкості проходить шлях довжиною 2π v кожні T секунд, або:
і спрямоване радіально до центра.
Взаємозв'язки векторів показано на рисунку. Вісь обертання зображена вектором Ω, перпендикулярним до площини орбіти і має величину ω = dθ / dt. Напрям вектора Ω обрано відповідно до правилом правої руки. За цим правилом швидкість це векторний добуток виду:
і є вектором, перпендикулярним як до Ω так і до r (t), спрямованим по дотичній до орбіти та величиною ω R. Аналогічно, прискорення визначається як:
Воно являє собою вектор, перпендикулярний як до Ω так і до v (t), та величиною ω |v| = ω2R й спрямований строго протилежно до r (t).
Постійна швидкість
У найпростішому випадку швидкість, маса і радіус є сталими.
Розглянемо тіло масою один кілограм, що рухається по колу радіусом один метр з кутовою швидкістю один радіан за секунду.
- Швидкість: один метр за секунду;
- Радіальне прискорення: один метр на секунду за секунду;
- Прискорення створюється доцентровою силою один кілограм на метр на секунду за секунду, тобто один ньютон;
- Імпульс тіла: один кілограм на метр за секунду (кг٠м٠с-1);
- Момент інерції: один кілограм на метр в квадраті (кг٠м2);
- Момент імпульсу: один кілограм на метр в квадраті за секунду (кг٠м2٠с-1);
- Кінетична енергія:
джоуля;
- Окружність орбіти:
метрів;
- Період руху:
секунд на оберт;
- Частота:
герц;
- З точки зору квантової механіки система перебуває у збудженому стані з квантовим числом
Тепер розглянемр тіло маси , що рухається по колу радіусом
з кутовою швидкістю
- Швидкість:
- Радіальне прискорення:
- Доцентрова сила:
- Імпульс тіла:
- Момент інерції:
- Момент імпульсу:
- Кінетична енергія:
- Довжина кола орбіти:
- Період руху:
- Частота:
. (Замість літери
частота часто позначається грецькою літерою
, яку, однак, часто можна сплутати з літерою
, що використовується для позначення швидкості);
- Квантове число:
где
— Стала Планка
Змінна швидкість
У коловому русі повну силу, прикладену до об'єкта, можна розкласти на дві складові: доцентрову, що утримує тіло на коловій орбіті (тобто змінює напрямок вектора швидкості), і тангенціальну, спрямовану по дотичній до кола й викликає зміну довжини вектора швидкості (що змінює швидкість обертання тіла по орбіті). Величина доцентрової складової залежить від миттєвої швидкості.
Наприклад, коли камінь прив'язаний до кінця мотузки, він зазнає впливу деякої сили, яку ми можемо розкласти на радіальну і бічну (дотичну) складові. Радіальна спрямована до центра (всередину) кола і викликана тим, що мотузка чинить опір своєму видовженню. А бічна складова визначає як обертання каменя прискорюватиметься чи сповільнюватиметься.
Опис колового руху у полярних координатах
Траєкторія колового руху тіла може бути описана в полярній системі координат значеннями фіксованої відстані R від центра орбіти, що є точкою відліку, і кута орієнтації θ (t) від деякого фіксованого напряму (див. рис.). Вектор переміщення є радіальним вектором від полюса до поточного положення:
де — одиничний вектор, паралельний до радіуса в момент t і спрямований від полюса. Зручно також увести одиничний вектор, ортогональний до
, який позначимо
. Зазвичай його орієнтація обирається за напрямом руху уздовж орбіти.
Швидкість є похідною від переміщення по часу:
Оскільки радіус кола є константою, радіальна складова швидкості дорівнює нулю. Одиничний вектор має інваріантне по часу значення, так що при зміні часу його кінець завжди лежить на колі одиничного радіуса, а кут θ такий же, як у
. Якщо відбувся малий приріст кута dθ за час dt, тоді
описує дугу одиничного кола зі значенням dθ (див. одиничне коло на рисунку ліворуч). Отже:
де напрям зміни має бути перпендикулярним до (або, іншими словами, уздовж
), бо будь-яка зміна d
у напрямі
буде змінювати величину
. Знак додатній, тому що зростання dθ впливає на об'єкт і
пересувається у напрямі
.
Отже, швидкість стає рівною:
Прискорення тіла також можна розкласти на радіальну та тангенціальну складові. Прискорення є похідною швидкості по часу:
Похідна по часу від знаходиться таким же шляхом, як і для
. Знову ж,
— одиничний вектор, і його кінець розташований на одиничному колі, а кут дорівнює π/2 + θ. Отже, приріст кута dθ вектора
переміщує
по дузі на величину dθ, і оскільки
є перпендикулярний до
, маємо:
де від'ємний знак потрібен, щоб зберегти перпендикулярним до
. (В іншому випадку кут між
і
буде зменшуватись зі збільшенням dθ, див. одиничне коло ліворуч на рисунку). Отже, прискорення дорівнює:
Доцентрове прискорення — це радіальна складова, спрямована по радіусу до середини:
тоді як тангенціальна складова змінює значення швидкості:
Опис колового руху в комплексних числах
Коловий рух можна описати з використанням комплексних чисел. Нехай — вісь дійсних чисел, а
— вісь уявних чисел. Тоді положення тіла може бути заданим у вигляді комплексного «вектора»
:
де уявна одиниця, і
є кутом комплексного вектора відносно дійсної осі як функція часу t.
Оскільки радіус є константою:
де крапка означає диференціал по часу. У цих позначеннях швидкість має вигляд :
а прискорення:
Перший доданок спрямований проти вектора переміщення, а другий перпендикулярно до нього, як і у попередніх результатах.
Див. також
Посилання
- Mathematics of Circular Motion [ 24 березня 2022 у Wayback Machine.] // Physics Classroom (англ.)
- Uniform Circular Motion: Crash Course Physics #7 [ 6 квітня 2022 у Wayback Machine.] // CrashCourse (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kolovi j ruh abo ruh po ko lu angl circular motion mehanichnij ruh u viglyadi obertannya navkolo fiksovanoyi osi materialnoyi tochki abo tila koli vis obertannya v obranij sistemi vidliku ne prohodit cherez cyu materialnu tochku chi centr tila U comu vipadku trayektoriya ruhu tochki abo usih tochok tila ye kolom kolovoyu orbitoyu Ruh mozhe buti rivnomirnim zi staloyu kutovoyu shvidkistyu abo nerivnomirnim iz zminnoyu kutovoyu shvidkistyu Obertannya trivimirnogo tila navkolo fiksovanoyi osi vklyuchaye kolovij ruh kozhnoyi jogo chastki U zagalnishomu vipadku pro ruh po kolu ob yekta mozhna govoriti yaksho znehtuvati jogo rozmirami a rozglyadati lishe ruh po kolu jogo centra mas Shvidkist v i priskorennya a pri rivnomirnomu rusi po kolu z kutovoyu shvidkistyu w shvidkist postijna ale zavzhdi dotichna do orbiti priskorennya maye postijnu velichinu i zavzhdi spryamovane do centru obertannya Prikladi kolovogo ruhu shtuchnij suputnik na geosinhronnij orbiti tyagarec na shnurku pri obertanni po kolu napriklad metannya molota bolid sho ruhayetsya trasoyu na povoroti vikonanomu po kolovij duzi elektron sho ruhayetsya perpendikulyarno do postijnogo magnitnogo polya tosho Ruh po kolu ye priskorenim navit yaksho vidbuvayetsya z postijnoyu kutovoyu shvidkistyu bo vektor shvidkosti ob yekta postijno zminyuye napryamok Taka zmina napryamku shvidkosti potrebuye docentrovogo priskorennya ruhomogo ob yekta docentrovoyu siloyu yaka shtovhaye jogo u napryamku do centra kolovoyi orbiti Bez cogo priskorennya ob yekt ruhatimetsya pryamolinijno vidpovidno do zakoniv Nyutona Formuli dlya rivnomirnogo kolovogo ruhuVzayemozv yazki vektoriv rivnomirnogo kolovogo ruhu vektor W sho harakterizuye obertannya spryamovanij po perpendikulyaru do ploshini orbiti Dlya ruhu po kolu radiusa R dovzhina kola bude C 2p R Yaksho period obertannya ye T to kutova shvidkist obertannya w bude dorivnyuvati w 2pT displaystyle omega frac 2 pi T Shvidkist ruhu ob yekta dorivnyuye v 2pRT wR displaystyle v frac 2 pi R T omega R Kut povorotu 8 za chas t stanovit 8 2ptT wt displaystyle theta 2 pi frac t T omega t Priskorennya sho sprichinyaye zminu napryamu shvidkosti mozhna viznachiti yaksho vrahuvati sho shvidkist robit povnu zminu napryamu za cej zhe chas T za yakij ob yekt robit odin povnij obert Todi vektor shvidkosti prohodit shlyah dovzhinoyu 2p v kozhni T sekund abo a 2pvT w2 R displaystyle a frac 2 pi v T omega 2 R i spryamovane radialno do centra Vzayemozv yazki vektoriv pokazano na risunku Vis obertannya zobrazhena vektorom W perpendikulyarnim do ploshini orbiti i maye velichinu w d8 dt Napryam vektora W obrano vidpovidno do pravilom pravoyi ruki Za cim pravilom shvidkist ce vektornij dobutok vidu v W r displaystyle mathbf v boldsymbol Omega times mathbf r i ye vektorom perpendikulyarnim yak do W tak i do r t spryamovanim po dotichnij do orbiti ta velichinoyu w R Analogichno priskorennya viznachayetsya yak a W v displaystyle mathbf a boldsymbol Omega times mathbf v Vono yavlyaye soboyu vektor perpendikulyarnij yak do W tak i do v t ta velichinoyu w v w2R j spryamovanij strogo protilezhno do r t Postijna shvidkistU najprostishomu vipadku shvidkist masa i radius ye stalimi Rozglyanemo tilo masoyu odin kilogram sho ruhayetsya po kolu radiusom odin metr z kutovoyu shvidkistyu odin radian za sekundu Shvidkist odin metr za sekundu Radialne priskorennya odin metr na sekundu za sekundu Priskorennya stvoryuyetsya docentrovoyu siloyu odin kilogram na metr na sekundu za sekundu tobto odin nyuton Impuls tila odin kilogram na metr za sekundu kg٠m٠s 1 Moment inerciyi odin kilogram na metr v kvadrati kg٠m2 Moment impulsu odin kilogram na metr v kvadrati za sekundu kg٠m2٠s 1 Kinetichna energiya 1 2 displaystyle 1 2 dzhoulya Okruzhnist orbiti 2p 6 283 displaystyle 2 pi sim 6 283 metriv Period ruhu 2p displaystyle 2 pi sekund na obert Chastota 2p 1 displaystyle 2 pi 1 gerc Z tochki zoru kvantovoyi mehaniki sistema perebuvaye u zbudzhenomu stani z kvantovim chislom 9 48 1035 displaystyle sim 9 48 cdot 10 35 Teper rozglyanemr tilo masi m displaystyle m sho ruhayetsya po kolu radiusom r displaystyle r z kutovoyu shvidkistyu w displaystyle w displaystyle Shvidkist v r w displaystyle v r cdot w Radialne priskorennya a r w2 r 1 v2 displaystyle a r cdot w 2 r 1 cdot v 2 Docentrova sila F m a r m w2 r 1 m v2 displaystyle F m cdot a r cdot m cdot w 2 r 1 cdot m cdot v 2 Impuls tila p m v r m w displaystyle p m cdot v r cdot m cdot w Moment inerciyi I r2 m displaystyle I r 2 cdot m Moment impulsu L r m v r2 m w I w displaystyle L r cdot m cdot v r 2 cdot m cdot w I cdot w Kinetichna energiya E 2 1 m v2 2 1 r2 m w2 2 m 1 p2 2 1 I w2 2 I 1 L2 displaystyle E 2 1 cdot m cdot v 2 2 1 cdot r 2 cdot m cdot w 2 2 cdot m 1 cdot p 2 2 1 cdot I cdot w 2 2 cdot I 1 cdot L 2 Dovzhina kola orbiti 2 p r displaystyle 2 cdot pi cdot r Period ruhu T 2 p w 1 displaystyle T 2 cdot pi cdot w 1 Chastota f T 1 displaystyle f T 1 Zamist literi f displaystyle f chastota chasto poznachayetsya greckoyu literoyu n displaystyle nu yaku odnak chasto mozhna splutati z literoyu v displaystyle v sho vikoristovuyetsya dlya poznachennya shvidkosti Kvantove chislo J 2 p L ℏ 1 displaystyle J 2 cdot pi cdot L cdot hbar 1 gde ℏ displaystyle hbar Stala PlankaZminna shvidkistU kolovomu rusi povnu silu prikladenu do ob yekta mozhna rozklasti na dvi skladovi docentrovu sho utrimuye tilo na kolovij orbiti tobto zminyuye napryamok vektora shvidkosti i tangencialnu spryamovanu po dotichnij do kola j viklikaye zminu dovzhini vektora shvidkosti sho zminyuye shvidkist obertannya tila po orbiti Velichina docentrovoyi skladovoyi zalezhit vid mittyevoyi shvidkosti Napriklad koli kamin priv yazanij do kincya motuzki vin zaznaye vplivu deyakoyi sili yaku mi mozhemo rozklasti na radialnu i bichnu dotichnu skladovi Radialna spryamovana do centra vseredinu kola i viklikana tim sho motuzka chinit opir svoyemu vidovzhennyu A bichna skladova viznachaye yak obertannya kamenya priskoryuvatimetsya chi spovilnyuvatimetsya Opis kolovogo ruhu u polyarnih koordinatahPolyarni koordinati dlya kolovoyi trayektoriyi Odinichne kolo sho zobrazhene livoruch pokazuye zminu du R displaystyle mathbf d hat u R i du 8 displaystyle mathbf d hat u theta odinichnih vektoriv u R displaystyle mathbf hat u R i u 8 displaystyle mathbf hat u theta dlya malogo prirostu d8 displaystyle mathrm d theta kuta 8 displaystyle mathrm theta Trayektoriya kolovogo ruhu tila mozhe buti opisana v polyarnij sistemi koordinat znachennyami fiksovanoyi vidstani R vid centra orbiti sho ye tochkoyu vidliku i kuta oriyentaciyi 8 t vid deyakogo fiksovanogo napryamu div ris Vektor peremishennya r displaystyle stackrel vec r ye radialnim vektorom vid polyusa do potochnogo polozhennya r Ru R t displaystyle vec r R hat u R t de u R t displaystyle hat u R t odinichnij vektor paralelnij do radiusa v moment t i spryamovanij vid polyusa Zruchno takozh uvesti odinichnij vektor ortogonalnij do u R displaystyle hat u R yakij poznachimo u 8 displaystyle hat u theta Zazvichaj jogo oriyentaciya obirayetsya za napryamom ruhu uzdovzh orbiti Shvidkist ye pohidnoyu vid peremishennya po chasu v ddtr t dRdtu R Rdu Rdt displaystyle vec v frac d dt vec r t frac dR dt hat u R R frac d hat u R dt Oskilki radius kola ye konstantoyu radialna skladova shvidkosti dorivnyuye nulyu Odinichnij vektor u R displaystyle hat u R maye invariantne po chasu znachennya tak sho pri zmini chasu jogo kinec zavzhdi lezhit na koli odinichnogo radiusa a kut 8 takij zhe yak u r t displaystyle vec r t Yaksho vidbuvsya malij pririst kuta d8 za chas dt todi u R displaystyle hat u R opisuye dugu odinichnogo kola zi znachennyam d8 div odinichne kolo na risunku livoruch Otzhe du Rdt d8dtu 8 displaystyle frac d hat u R dt frac d theta dt hat u theta de napryam zmini maye buti perpendikulyarnim do u R displaystyle hat u R abo inshimi slovami uzdovzh u 8 displaystyle hat u theta bo bud yaka zmina du R displaystyle hat u R u napryami u R displaystyle hat u R bude zminyuvati velichinu u R displaystyle hat u R Znak dodatnij tomu sho zrostannya d8 vplivaye na ob yekt i u R displaystyle hat u R peresuvayetsya u napryami u 8 displaystyle hat u theta Otzhe shvidkist staye rivnoyu v ddtr t Rdu Rdt Rd8dtu 8 Rwu 8 displaystyle vec v frac d dt vec r t R frac d hat u R dt R frac d theta dt hat u theta R omega hat u theta Priskorennya tila takozh mozhna rozklasti na radialnu ta tangencialnu skladovi Priskorennya ye pohidnoyu shvidkosti po chasu a ddtv ddt R w u 8 displaystyle vec a frac d dt vec v frac d dt left R omega hat u theta right R dwdt u 8 w du 8dt displaystyle R left frac d omega dt hat u theta omega frac d hat u theta dt right dd Pohidna po chasu vid u 8 displaystyle hat u theta znahoditsya takim zhe shlyahom yak i dlya u R displaystyle hat u R Znovu zh u 8 displaystyle hat u theta odinichnij vektor i jogo kinec roztashovanij na odinichnomu koli a kut dorivnyuye p 2 8 Otzhe pririst kuta d8 vektora r t displaystyle vec r t peremishuye u 8 displaystyle hat u theta po duzi na velichinu d8 i oskilki u 8 displaystyle hat u theta ye perpendikulyarnij do u R displaystyle hat u R mayemo du 8dt d8dtu R wu R displaystyle frac d hat u theta dt frac d theta dt hat u R omega hat u R de vid yemnij znak potriben shob zberegti u 8 displaystyle hat u theta perpendikulyarnim do u R displaystyle hat u R V inshomu vipadku kut mizh u 8 displaystyle hat u theta i u R displaystyle hat u R bude zmenshuvatis zi zbilshennyam d8 div odinichne kolo livoruch na risunku Otzhe priskorennya dorivnyuye a R dwdt u 8 w du 8dt displaystyle vec a R left frac d omega dt hat u theta omega frac d hat u theta dt right Rdwdt u 8 w2R u R displaystyle R frac d omega dt hat u theta omega 2 R hat u R dd Docentrove priskorennya ce radialna skladova spryamovana po radiusu do seredini a R w2Ru R displaystyle vec a R omega 2 R hat u R todi yak tangencialna skladova zminyuye znachennya shvidkosti a 8 Rdwdt u 8 dRwdt u 8 d v dt u 8 displaystyle vec a theta R frac d omega dt hat u theta frac dR omega dt hat u theta frac d vec v dt hat u theta Opis kolovogo ruhu v kompleksnih chislahKolovij ruh mozhna opisati z vikoristannyam kompleksnih chisel Nehaj x displaystyle x vis dijsnih chisel a y displaystyle y vis uyavnih chisel Todi polozhennya tila mozhe buti zadanim u viglyadi kompleksnogo vektora z displaystyle z z x iy R cos 8 isin 8 Rei8 displaystyle z x iy R cos theta i sin theta Re i theta de i displaystyle i uyavna odinicya i 8 8 t displaystyle theta theta t ye kutom kompleksnogo vektora vidnosno dijsnoyi osi yak funkciya chasu t Oskilki radius ye konstantoyu R R 0 displaystyle dot R ddot R 0 de krapka oznachaye diferencial po chasu U cih poznachennyah shvidkist maye viglyad v z Rddt i8 ei8 iR8 ei8 iw Rei8 iwz displaystyle v dot z R frac d dt left i theta right e i theta iR dot theta e i theta i omega cdot Re i theta i omega z a priskorennya a v iw z iwz iw w2 z displaystyle a dot v i dot omega z i omega dot z i dot omega omega 2 z iw w2 Rei8 displaystyle left i dot omega omega 2 right Re i theta w2Rei8 w eip2Rei8 displaystyle omega 2 Re i theta dot omega e i frac pi 2 Re i theta dd Pershij dodanok spryamovanij proti vektora peremishennya a drugij perpendikulyarno do nogo yak i u poperednih rezultatah Div takozhMoment impulsu Rivnyannya ruhu Matematichnij mayatnik Docentrova silaPosilannyaMathematics of Circular Motion 24 bereznya 2022 u Wayback Machine Physics Classroom angl Uniform Circular Motion Crash Course Physics 7 6 kvitnya 2022 u Wayback Machine CrashCourse angl