Клин (геометрія)

Клин
Властивості	Опуклий
Елементи	6 граней 9 ребер 6 вершин (3-го степеня)
Характеристика Ейлера	${\displaystyle \chi =\Gamma -{\hbox{P}}+{\hbox{B}}=2}$
Грані	2 трикутники 3 трапеції

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Клин.

Клин у геометрії (англ. wedge) — це опуклий багатогранник, що складається з п'яти граней: двох трикутників і трьох трапецій . Клин має 9 ребер і 6 вершин. Верхнє ребро клину паралельне основі.

Клин є підкласом призматоїдів, якщо розглядати верхнє ребро як вироджену грань (у призматоїдів дві грані є паралельними).

Порівняння з іншими багатогранниками:

• Якщо одна грань паралелепіпеда вироджується у відрізок, отримається клин.
• Піраміда ,основа якої - трапеція (зокрема і паралелогам, прямокутник, квадрат) є клином, в якому одне з ребер вироджене в точку.
• Клин можна розглядати як трикутну зрізану призму.
• Трикутна призма є окремим випадком клина з двома паралельними трикутними гранями.

Часткові випадки

Вид клина	Грані	Зображення	Опис
Правильний клин (правильногранний клин)	3 квадрата 2 правильних трикутника		- клин, всі грані якого - правильні багатокутники, всі ребра - однакової довжини. Багатогранник можна розглядати як правильну трикутну призму. Симетрія: ^[en], [3,2], (*223) порядок 12 (Діедральна симетрія 3-призми) Має вісь симетрії 3-го порядку та три осі симетрії 2-го порядку; чотири площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і квадрата).
Прямий клин	Основа: 1 прямокутник Бокові грані: 2 прямокутника, 2 рівнобедрених трикутника		- клин, основа якого - прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані прямокутники та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані перпендикулярні до основи. Багатогранник можна розглядати як пряму трикутну призму з основою- рівнобедрений трикутник. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії. Також цей клин можна вважати «двосхилим куполом» (купол відрізка і прямокутника).
Скошений прямий клин	Основа: 1 прямокутник Бокові грані: 2 рівнобедрених трапеції, 2 рівнобедрених трикутника		- клин, основа якого - прямокутник (зокрема і квадрат), а бокові грані рівнобедрені трапеції та рівнобедрені трикутники. Трикутні грані однаково нахилені до основи. Має вісь симетрії 2-го порядку; дві площини симетрії.

Формули

Двічі скошена пряма трикутна призма

Об'єм довільного клина можна обрахувати за фомулою об'єма для двічі скошеної прямої трикутної призми  :

${\displaystyle V={\frac {a+b+c}{3}}\cdot S_{\perp }}$

де ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ - довжини паралельних ребер клина.
${\displaystyle S_{\perp }}$ - площа перерізу, перпендикулярного до цих ребер.

Скошений прямий клин

Для скошеного прямого клина справедливі формули:

Об'єм:

${\displaystyle V=bh\left({\frac {a}{3}}+{\frac {c}{6}}\right),}$ (формула справедлива для будь-якого клина з прямокутною основою.)

Площа поверхні:

${\displaystyle S=ab+(a+c){\sqrt {h^{2}+{\frac {b^{2}}{4}}}}+b{\sqrt {h^{2}+{\frac {(a-c)^{2}}{4}}}}}$

Центр тяжіння лежить на осі клина на відстані ${\displaystyle z={\frac {(a+c)\cdot h}{2(2a+c)}}}$ від його основи.

тут ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ - довжини ребер прямокутної грані клина.
${\displaystyle c}$ - довжина верхнього (апексного) ребра, паралельного основі.
${\displaystyle h}$ - висота, відстань від верхнього ребра клина до його основи.

Для прямого клина (при ${\displaystyle c=a}$) формули спрощуються до:

${\displaystyle V={\frac {ab}{2}}\cdot h}$ ,

${\displaystyle S=ab+b\cdot h+2a\cdot {\sqrt {h^{2}+{\frac {b^{2}}{4}}}}}$ ,

${\displaystyle z={\frac {h}{3}}}$

Приклади

Клини можна отримати розрізанням інших багатогранників. Наприклад, додекаедр можна розбити на центральный куб і 6 прямих клинів з квадратною основою, що покривають грані куба. Орієнтації клинів обираються так, що трикутні і трапецевидні грані сполучаються й утворюють правильні п'ятикутники.

Два тупих клини можна отримати при розрізанні навпіл правильного тетраедра площиною, яка є паралельною до двох протилежних сторін.

Особливі випадки

Трикутна призма (Паралельний трикутний клин)

Тупокутний клин як зрізаний наполовину правильний тетраедр

Клин, побудований з 8-ми трикутних граней і 2-х квадратів. Його можна розглядати як тетраедр, нарощений двома квадратними пірамідами.

Додекаедр можна роскласти на центральний куб і 6 клинів на його 6-ти квадратних гранях.

Пов'язані багатогранники

Обеліск

Обеліск (Зрізаний прямий клин) – багатогранник у якого нижня та верхня основи є прямокутниками, розташованими в паралельних площинах; протилежні бічні грані (конгруентні рівнобедрені трапеції) однаково нахилені до основи, але не перетинаються.

Об'єм багатогранника можна обрахувати за формулою:

${\displaystyle V={\frac {(2a+a_{1})\cdot b+(2a_{1}+a)\cdot b_{1}}{6}}\cdot h={\frac {a\cdot b+(a+a_{1})\cdot (b+b_{1})+a_{1}\cdot b_{1}}{6}}\cdot h}$

Джерела

• Harris, J. W., Stocker, H. §4.5.2 Wedge // Handbook of Mathematics and Computational Science. — New York : Springer, 1998. — С. 102. — .
• George R. Perkins: Plane and Solid Geometry. Appleton & Co, New York, 1854, S. 115

Посилання

• Weisstein, Eric W. Wedge(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Примітки

1. Понарин Я. П. (2006). Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преобразования пространства (рашистська) . Москва: Издательство МЦНМО. с. с.100. ISBN . {{}}: |pages= має зайвий текст ()
2. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. (1981). Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов (рашистська) . Москва: Наука. с. 222.