База топології — множина відкритих підмножин X така, що кожна відкрита множина є об'єднанням деяких елементів . Поняття бази — одне з основних в топології. У багатьох питаннях, що стосуються відкритих множин деякого простору, досить обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює множина всіх відкритих множин.
База топології однозначно визначає топологію. Тому для визначення деякої топології на просторі Х достатньо визначити деяку базу, а за відкриті множини взяти всі можливі об'єднання елементів бази. Щоб система множин , була базою якоїсь топології простору Х, необхідно і достатньо, щоб вона задовольняла дві умови:
Приклади
- Якщо X і Y — топологічні простори з базами топологій і , тоді топологія на декартовому добутку X×Y задається за допомогою бази
При цьому топологія на X × Y не залежатиме від того, які бази просторів X і Y використовуються для її завдання. Така топологія називається (стандартною) топологією декартового добутку топологічних просторів.
- Топологія простору дійсних чисел задається системою всіх інтервалів (а,b), яка складає базу цієї топології. Аналогічно топологія простору задається базою відкритих елементів і ця топологія, очевидно, збігається із стандартною топологією прямого добутку просторів.
- Прикладом множини відкритих множин, що не є базою може бути наприклад множина інтервалів виду (−∞, a) і (a, ∞) де a — деяке дійсне число.
Пов'язані означення
- Мінімум серед потужностей усіх баз називається вагою топологічного простору X.
- В просторі ваги існує усюди щільна множина потужності .
- Простори із зліченною базою називаються також просторами з другою аксіомою зліченності.
- Локальною базою простору X в точці (базою точки x) називається множина його відкритих множин, що задовольняє властивість: для будь-якого околу Ox точки x знайдеться елемент такий, що .
- Простори, що мають зліченну локальну базу в кожній точці, називаються просторами з першою аксіомою зліченності.
- Нехай — деякі кардинальні числа. База простору X називається -точковою, якщо кожна точка належить не більше ніж елементам сімейства . Зокрема, при база називається диз'юнктивною, при скінченному — точково скінченною, при — точково зліченною.
Властивості
- Множина відкритих в X множин є базою тоді і тільки тоді, коли вона є локальною базою кожної точки простору X .
Варіації і узагальнення
- Існує також двоїсте поняття замкнутої бази. Множина F підмножин топологічного простору називається замкнутою базою, якщо кожна відкрита підмножина може бути подана як перетин деяких елементів F.
- Передбаза — множина Y відкритих підмножин топологічного простору X така, що сукупність всіх множин, що є перетином скінченного числа елементів Y, утворює базу простору X.
Джерела
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — Москва : Наука, 1977. — 368 с. — .(рос.)
- Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Baza topologiyi mnozhina B displaystyle mathfrak B vidkritih pidmnozhin X taka sho kozhna vidkrita mnozhina G X displaystyle G subset X ye ob yednannyam deyakih elementiv U B displaystyle U subset mathfrak B Ponyattya bazi odne z osnovnih v topologiyi U bagatoh pitannyah sho stosuyutsya vidkritih mnozhin deyakogo prostoru dosit obmezhitisya rozglyadom elementiv jogo bazi Prostir mozhe mati bagato baz najbilshu z yakih utvoryuye mnozhina vsih vidkritih mnozhin Baza topologiyi odnoznachno viznachaye topologiyu Tomu dlya viznachennya deyakoyi topologiyi na prostori H dostatno viznachiti deyaku bazu a za vidkriti mnozhini vzyati vsi mozhlivi ob yednannya elementiv bazi Shob sistema mnozhin B displaystyle mathfrak B bula bazoyu yakoyis topologiyi prostoru H neobhidno i dostatno shob vona zadovolnyala dvi umovi Sistema ye pokrittyam prostoru X Dlya bud yakih dvoh elementiv B1 B2 sistemi B displaystyle mathfrak B i bud yakoyi tochki x z yihnogo peretinu znajdetsya deyakij element B3 sistemi B displaystyle mathfrak B yakij mistit tochku h i ye pidmnozhinoyu peretinu B1 B2 PrikladiYaksho X i Y topologichni prostori z bazami topologij B X displaystyle mathfrak B X i B Y displaystyle mathfrak B Y todi topologiya na dekartovomu dobutku X Y zadayetsya za dopomogoyu bazi B X Y U V U B X V B Y displaystyle mathfrak B X times Y U times V U in mathfrak B X V in mathfrak B Y Pri comu topologiya na X Y ne zalezhatime vid togo yaki bazi prostoriv X i Y vikoristovuyutsya dlya yiyi zavdannya Taka topologiya nazivayetsya standartnoyu topologiyeyu dekartovogo dobutku topologichnih prostoriv Topologiya prostoru dijsnih chisel R displaystyle mathbb R zadayetsya sistemoyu vsih intervaliv a b yaka skladaye bazu ciyeyi topologiyi Analogichno topologiya prostoru R n displaystyle mathbb R n zadayetsya bazoyu vidkritih elementiv a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n displaystyle a 1 b 1 times a 2 b 2 times dots times a n b n i cya topologiya ochevidno zbigayetsya iz standartnoyu topologiyeyu pryamogo dobutku prostoriv Prikladom mnozhini vidkritih mnozhin sho ne ye bazoyu mozhe buti napriklad mnozhina intervaliv vidu a i a de a deyake dijsne chislo Pov yazani oznachennyaMinimum sered potuzhnostej usih baz nazivayetsya vagoyu topologichnogo prostoru X V prostori vagi t displaystyle tau isnuye usyudi shilna mnozhina potuzhnosti t displaystyle leqslant tau Prostori iz zlichennoyu bazoyu nazivayutsya takozh prostorami z drugoyu aksiomoyu zlichennosti Lokalnoyu bazoyu prostoru X v tochci x X displaystyle x in X bazoyu tochki x nazivayetsya mnozhina B x displaystyle mathfrak B x jogo vidkritih mnozhin sho zadovolnyaye vlastivist dlya bud yakogo okolu Ox tochki x znajdetsya element V B x displaystyle V in mathfrak B x takij sho x V O x displaystyle x in V subset O x Prostori sho mayut zlichennu lokalnu bazu v kozhnij tochci nazivayutsya prostorami z pershoyu aksiomoyu zlichennosti Nehaj m n displaystyle mathfrak m mathfrak n deyaki kardinalni chisla Baza B displaystyle mathfrak B prostoru X nazivayetsya m displaystyle mathfrak m tochkovoyu yaksho kozhna tochka x X displaystyle x in X nalezhit ne bilshe nizh m displaystyle mathfrak m elementam simejstva B displaystyle mathfrak B Zokrema pri m 1 displaystyle mathfrak m 1 baza nazivayetsya diz yunktivnoyu pri skinchennomu m displaystyle mathfrak m tochkovo skinchennoyu pri m X 0 displaystyle mathfrak m mathcal X 0 tochkovo zlichennoyu VlastivostiMnozhina B displaystyle mathfrak B vidkritih v X mnozhin ye bazoyu todi i tilki todi koli vona ye lokalnoyu bazoyu kozhnoyi tochki prostoru X x X displaystyle x in X Variaciyi i uzagalnennyaIsnuye takozh dvoyiste ponyattya zamknutoyi bazi Mnozhina F pidmnozhin topologichnogo prostoru nazivayetsya zamknutoyu bazoyu yaksho kozhna vidkrita pidmnozhina mozhe buti podana yak peretin deyakih elementiv F Peredbaza mnozhina Y vidkritih pidmnozhin topologichnogo prostoru X taka sho sukupnist vsih mnozhin sho ye peretinom skinchennogo chisla elementiv Y utvoryuye bazu prostoru X DzherelaBurbaki N Zagalna topologiya Osnovni strukturi 3 e M Nauka 1968 S 276 Elementi matematiki ros Aleksandrov P S Vvedenie v teoriyu mnozhestv i obshuyu topologiyu Moskva Nauka 1977 368 s ISBN 5354008220 ros Willard Stephen 1970 General Topology Addison Wesley Reprinted 2004 Dover Publications