Цілі числа Ейзенштейна

В математиці Ціле число Ейзенштейна (також відоме, як ціле число Ейлера) це комплексне число виду

Цілі числа Ейзенштейна утворюють трикутну ґратку на комплексній площині

${\displaystyle z=a+b\omega \,\!}$

де a і b — цілі числа,

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$

комплексний кубічний корінь з одиниці.

Властивості

Цілі числа Ейзенштейна утворюють комутативне кільце цілих алгебраїчних чисел у круговому полі Q(ω). Вони є цілими алгебраїчними числами оскільки число z = a + bω є коренем многочлена

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}$

Зокрема, ω задовольняє рівняння

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0.\,\!}$

Норма цілих чисел Ейзенштейна рівна

${\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

Відповідно норма є цілим числом. Оскільки

${\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}$

норма ненульового числа є додатною.

Група одиниць (оборотних елементів) даного кільця це циклічна група коренів шостого степеня з одиниці. Елементами цієї групи є

{±1, ±ω, ±ω²}

Прості числа Ейзенштейна

Якщо x і y — цілі числа Ейзенштейна, то x ділить y якщо існує ціле число Ейзенштейна z що y = z x.

Необоротне ціле число Ейзенштейна x називається простим, якщо всі його дільники мають вид ux де u є одним з шести оборотних чисел.

Звичайне просте число рівне 3 чи рівне 1 за модулем 3 має вигляд x² − xy + y² для деяких цілих чисел x, y і тому може бути розкладене в добуток (x + ωy)(x + ω²y) і, як наслідок не є простим числом Ейзенштейна.

Кожне ціле число Ейзенштейна a + bω норма якого a² − ab + b² є звичайним простим числом, є простим числом Ейзенштейна. Кожне просте число Ейзенштейна або записується у цьому виді, або є добутком оборотного елемента і звичайного простого числа рівного 2 за модулем 3.

Кільце Евкліда

Кільце цілих чисел Ейзенштейна є евклідовим кільцем з нормою N , визначається

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

Це можна довести таким чином:

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}$

Див. також

• Гаусові числа
• Кватерніон Гурвіца
• Кругове поле
• Ціле алгебраїчне число

Посилання

• Eisenstein Integer--from MathWorld [Архівовано 15 грудня 2020 у Wayback Machine.]