Циклотронна маса — узагальнена маса (спільна для всього твердого тіла) носіїв струму при їх русі в магнітному полі. В загальному випадку ця маса не збігається з ефективною масою носіїв, оскільки поверхня Фермі може бути анізотропною, а ефективна маса є тензором. Циклотронну масу вимірюють за допомогою методу циклотронного резонансу або магнітотранспортних методів (ефект Шубникова — де Гааза). Знання циклотронної маси інколи допомагає визначити форму поверхні Фермі в твердому тілі.
Тривимірний випадок
Поверхня Фермі тривимірного кристала, наприклад кремнію, котрий є непрямозонним напівпровідником, складається з шести еліпсоїдів обертання в k-просторі. Розглянемо переріз поверхні Фермі площиною XZ такий, що в цій площині будуть знаходитися 4 витягнуті еліпси з центрами розташованими на осях на віддалі . Нехай вектор магнітного поля лежить в цій площині та створює кут з віссю Z. Анізотропний закон дисперсії для електронів має вигляд:
де введені дві різні ефективні маси , , які називаються відповідно повздовжною та поперечною ефективними масами. Рівняння руху частки (другий закон Ньютона) із зарядом «-e» в магнітному полі при відсутності затухання
де — хвильовий вектор, а швидкість частки визначається виразом:
Тепер розглянемо покомпонентно закон руху:
Нас буде цікавити тільки розв'язки виду:
Цей розв'язок існує при певній частоті, котра називається циклотронною, котра залежить від кута:
Тут можна визначити циклотронну масу як
Видно, що при , то , а якщо : .
Загальний випадок тривимірного простору
В загальному випадку для довільної поверхні Фермі, наприклад в металах поверхня Фермі може приймати складну форму і тому необхідно використовувати наступну формулу для циклотронної частоти
та циклотронної маси:
- (1)
де — площа перетину поверхні Фермі площиною , де — проєкція хвильового вектора електрону на напрямок магнітного поля, — енергія Фермі.
Випадок параболічної зони
Для найпростішої ізотропної параболічної зони енергію та площу перетину можна представити у вигляді наступних функцій :
- ,
- ,
де - величина компоненти хвильового вектора, що перпендикулярна магнітному полю, - ефективна маса. В цьому випадку похідна площини від енергії буде мати найпростіший вигляд :
- .
Підставляючи отримані значення для похідної в формулу для циклотронної маси, знаходимо:
- .
Таким чином, у випадку простої ізотропної параболічної зони ми будемо мати тотожність фізичних величин — «циклотронної маси» та «ефективної маси». Дана обставина і дозволяє в більшості випадків вимірювати ефективну масу носіїв у твердому тілі.
Циклотронна маса графену
Двовимірний закон дисперсії графену поблизу точок Дірака задається рівнянням
де — енергія збудження, — швидкість Фермі, — абсолютна величина двовимірного хвильового вектора.
Розглянемо легований графен зі щільністю носіїв на одиницю площі, , при досить низькій температурі так, що електрони утворюють вироджене Фермі море. Тоді можна визначити «поверхню Фермі» (2D лінія — коло ). Після врахування спінових і долинних вироджень, відповідний хвильовий вектор Фермі дорівнює
.
Тепер можна визначити «ефективну масу» звичайним способом (імпульс поділений на швидкість):
.
Для того, щоб визначити циклотронну масу, у квазікласичному наближенні можна використати рівняння (1), в яке слід підставити, , площу - простору, що оточена орбітою енергії ε
,
звідки знаходимо, що .
Енергетичний спектр 2D електронних систем у магнітному полі B, нормального до площини, є послідовність дискретних рівній Ландау. Використовуючи квазікласичне наближення квантування площі орбіти в оберненому просторі (квантування Бора-Зомерфельда),
,
ми знайдемо рівні Ландау в графені
. (2)
Якщо при переписати рівняння (2), як , то формула для «циклотронної частоти» має вигляд:
,
де - магнітне поле, що відповідає -му рівню Ландау, що збігатися з рівнем Фермі.
Циклотронна швидкість[]
Цей розділ може бути [en] для читачів. |
В загальному випадку циклотрона швидкість записується в наступному вигляді:
- ,
де у випадку традиційних тривимірних напівпровідників циклотронний радіус та маса визначаються як:
- , ,
а у випадку двовимірного графена:
- , ,
де - магнітна довжина. Таким чином, в звичайному тривимірному напівпровіднику, в якому виконується умова постійної ефективної маси, ми будемо мати змінне значення для циклотронної швидкості (наприклад, в КЕХ):
- .
Інша справа — двовимірний графен. Оскільки ефективна маса його носіїв змінюється, то його циклотрона швидкість завжди постійна:
Використавши це, ми можемо через неї визначити і циклотронну частоту:
та циклотронну масу:
- .
Таким чином, за межами розгляду елементів зонної структури та циклотронної маси, лишилась постійна швидкість . Звідки вона взялася, і який її масштаб?
Експериментальне обґрунтування постійності циклотронної швидкості в графені
Цей розділ може відбігати від теми статті. |
Найточніше значення постійної швидкості носіїв струму в графені було знайдено Діаконом та інш. в експериментах по відгуку фотопровідності на взірцях графена з декількома рівнями Ландау.
Це експериментальне значення швидкості для різних рівней Ландау знаходилося в діапазоні значень:
- .
Не важко помітити, що посередині цього діапазону знаходиться єдина фізична величина швидкості, яка називається борівською, оскільки визначає швидкість циклічного руху електрону на першій борівській орбіті атома Бора:
- .
На сьогодні рівність цих швидкостей
виконується з точністю до двох процентів:
- .
Безумовно надалі точність зросте, проте на скільки, поки що не відомо.
Див. також
Примітки
- Hook J. R. pp. 158—159.
- А.А. Абрикосов (2010). Основы теории металлов. Москва: ФИЗМАТЛИТ. с. 87. ISBN .
- Hook J. R. p. 375.
- Eva Y Andrei, Guohong Li and Xu Du, Electronic properties of graphene: a perspective from scanning tunneling microscopy and magnetotransport. Rep. Prog. Phys. 75 (2012) 056501 (47pp) arXiv:1204.4532 [cond-mat.mes-hall]
- R.S. Deacon, K-C. Chuang, R. J. Nicholas, K.S. Novoselov, and A.K. Geim. «Cyclotron Resonance study of the electron and hole velocity in graphene monolayers». arXiv:0704.0410v3
Література
Hook J. R., Hall H. E. Solid State Physics. — 2-nd ed. — Chichester : John Wiley & Sons, 1997. — С. 158-159. — .
Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — Москва : Мир, 1986. — С. 63-64. — ISBN УДК 537.33+535.2.
Посилання
- Физическая энциклопедия, т.5 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.429
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ciklotronna masa uzagalnena masa spilna dlya vsogo tverdogo tila nosiyiv strumu pri yih rusi v magnitnomu poli V zagalnomu vipadku cya masa ne zbigayetsya z efektivnoyu masoyu nosiyiv oskilki poverhnya Fermi mozhe buti anizotropnoyu a efektivna masa ye tenzorom Ciklotronnu masu vimiryuyut za dopomogoyu metodu ciklotronnogo rezonansu abo magnitotransportnih metodiv efekt Shubnikova de Gaaza Znannya ciklotronnoyi masi inkoli dopomagaye viznachiti formu poverhni Fermi v tverdomu tili Trivimirnij vipadokPoverhnya Fermi trivimirnogo kristala napriklad kremniyu kotrij ye nepryamozonnim napivprovidnikom skladayetsya z shesti elipsoyidiv obertannya v k prostori Rozglyanemo pereriz poverhni Fermi ploshinoyu XZ takij sho v cij ploshini budut znahoditisya 4 vityagnuti elipsi z centrami roztashovanimi na osyah na viddali k 0 displaystyle k 0 Nehaj vektor magnitnogo polya B displaystyle mathbf B lezhit v cij ploshini ta stvoryuye kut 8 displaystyle theta z vissyu Z Anizotropnij zakon dispersiyi dlya elektroniv maye viglyad e ℏ 2 2 k x 2 k y 2 m t k z k 0 2 m l displaystyle varepsilon frac hbar 2 2 left frac k x 2 k y 2 m t frac k z k 0 2 m l right de vvedeni dvi rizni efektivni masi m t displaystyle m t m l displaystyle m l yaki nazivayutsya vidpovidno povzdovzhnoyu ta poperechnoyu efektivnimi masami Rivnyannya ruhu chastki drugij zakon Nyutona iz zaryadom e v magnitnomu poli B displaystyle mathbf B pri vidsutnosti zatuhannya ℏ d k d t e v B displaystyle hbar frac d mathbf k dt e mathbf v times mathbf B de k displaystyle mathbf k hvilovij vektor a shvidkist chastki v displaystyle mathbf v viznachayetsya virazom v 1 ℏ k e ℏ k x m t ℏ k y m t ℏ k z k 0 m l displaystyle mathbf v frac 1 hbar nabla k varepsilon left frac hbar k x m t frac hbar k y m t frac hbar k z k 0 m l right Teper rozglyanemo pokomponentno zakon ruhu ℏ d k x d t e ℏ B k y m t cos 8 displaystyle hbar frac dk x dt frac e hbar Bk y m t cos theta ℏ d k y d t e ℏ B k x m t cos 8 e ℏ B k z k 0 m l sin 8 displaystyle hbar frac dk y dt frac e hbar Bk x m t cos theta frac e hbar B k z k 0 m l sin theta ℏ d k z d t e ℏ B k y m t sin 8 displaystyle hbar frac dk z dt frac e hbar Bk y m t sin theta Nas bude cikaviti tilki rozv yazki vidu k x k 1 e i w t k y k 2 e i w t k z k 0 k 3 e i w t displaystyle k x k 1 e i omega t k y k 2 e i omega t k z k 0 k 3 e i omega t Cej rozv yazok isnuye pri pevnij chastoti kotra nazivayetsya ciklotronnoyu kotra zalezhit vid kuta w c e B sin 2 8 m l m t cos 2 8 m t 2 1 2 displaystyle omega c eB left frac sin 2 theta m l m t frac cos 2 theta m t 2 right 1 2 Tut mozhna viznachiti ciklotronnu masu yak m c e B w c displaystyle m c e B omega c Vidno sho pri 8 0 displaystyle theta 0 to m c m t displaystyle m c m t a yaksho 8 p 2 displaystyle theta pi 2 m c m l m t displaystyle m c sqrt m l m t Zagalnij vipadok trivimirnogo prostoruV zagalnomu vipadku dlya dovilnoyi poverhni Fermi napriklad v metalah poverhnya Fermi mozhe prijmati skladnu formu i tomu neobhidno vikoristovuvati nastupnu formulu dlya ciklotronnoyi chastoti w c 2 p e B ℏ 2 1 S e F displaystyle omega c frac 2 pi e B hbar 2 frac 1 partial S partial varepsilon F ta ciklotronnoyi masi m c ℏ 2 2 p S e F displaystyle m c frac hbar 2 2 pi frac partial S partial varepsilon F 1 de S e F k H displaystyle S varepsilon F k H plosha peretinu poverhni Fermi ploshinoyu k H c o n s t displaystyle k H const de k H displaystyle k H proyekciya hvilovogo vektora elektronu na napryamok magnitnogo polya e F displaystyle varepsilon F energiya Fermi Vipadok parabolichnoyi zoniDlya najprostishoyi izotropnoyi parabolichnoyi zoni energiyu e displaystyle varepsilon ta ploshu peretinu S displaystyle S mozhna predstaviti u viglyadi nastupnih funkcij e ℏ 2 k 2 2 m displaystyle varepsilon frac hbar 2 k 2 2m S e F k H p k 2 p 2 m e F ℏ 2 k H 2 displaystyle S left varepsilon F k H right pi k bot 2 pi left frac 2 m varepsilon F hbar 2 k H 2 right de k displaystyle k bot velichina komponenti hvilovogo vektora sho perpendikulyarna magnitnomu polyu m displaystyle m efektivna masa V comu vipadku pohidna ploshini vid energiyi bude mati najprostishij viglyad S e F 2 p m ℏ 2 displaystyle frac partial S partial varepsilon F frac 2 pi m hbar 2 Pidstavlyayuchi otrimani znachennya dlya pohidnoyi v formulu dlya ciklotronnoyi masi znahodimo m c ℏ 2 2 p S e F m displaystyle m c frac hbar 2 2 pi cdot frac partial S partial varepsilon F m Takim chinom u vipadku prostoyi izotropnoyi parabolichnoyi zoni mi budemo mati totozhnist fizichnih velichin ciklotronnoyi masi ta efektivnoyi masi Dana obstavina i dozvolyaye v bilshosti vipadkiv vimiryuvati efektivnu masu nosiyiv u tverdomu tili Ciklotronna masa grafenuDvovimirnij zakon dispersiyi grafenu poblizu tochok Diraka zadayetsya rivnyannyam e ℏ v F k displaystyle varepsilon pm hbar v F k de e displaystyle varepsilon energiya zbudzhennya v F displaystyle v F shvidkist Fermi k displaystyle k absolyutna velichina dvovimirnogo hvilovogo vektora Rozglyanemo legovanij grafen zi shilnistyu nosiyiv na odinicyu ploshi n s displaystyle n s pri dosit nizkij temperaturi tak sho elektroni utvoryuyut virodzhene Fermi more Todi mozhna viznachiti poverhnyu Fermi 2D liniya kolo e e F displaystyle varepsilon varepsilon F Pislya vrahuvannya spinovih i dolinnih virodzhen vidpovidnij hvilovij vektor Fermi k F displaystyle k F dorivnyuye k F p n s 1 2 2 p displaystyle k F frac left pi n s right 1 2 2 pi Teper mozhna viznachiti efektivnu masu m displaystyle m zvichajnim sposobom impuls podilenij na shvidkist m ℏ k F v F n s 1 2 displaystyle m frac hbar k F v F sim n s 1 2 Dlya togo shob viznachiti ciklotronnu masu u kvaziklasichnomu nablizhenni mozhna vikoristati rivnyannya 1 v yake slid pidstaviti S e displaystyle S varepsilon ploshu k displaystyle k prostoru sho otochena orbitoyu energiyi e S e p k 2 e p e 2 ℏ 2 v F 2 displaystyle S left varepsilon right pi k 2 left varepsilon right frac pi varepsilon 2 hbar 2 v F 2 zvidki znahodimo sho m c m displaystyle m c m Energetichnij spektr 2D elektronnih sistem u magnitnomu poli B normalnogo do ploshini ye poslidovnist diskretnih rivnij Landau Vikoristovuyuchi kvaziklasichne nablizhennya kvantuvannya ploshi orbiti v obernenomu prostori kvantuvannya Bora Zomerfelda S e N p k 2 e N 2 p e B N ℏ N 0 1 displaystyle S left varepsilon N right pi k 2 left varepsilon N right frac 2 pi left e right BN hbar quad N 0 pm 1 mi znajdemo rivni Landau v grafeni e N 2 e ℏ v F 2 B N displaystyle varepsilon N pm sqrt 2 left e right hbar v F 2 B left N right 2 Yaksho pri e N e F displaystyle varepsilon N varepsilon F perepisati rivnyannya 2 yak e F ℏ w c N N displaystyle varepsilon F hbar omega c left N right sqrt left N right to formula dlya ciklotronnoyi chastoti maye viglyad w c N v F 2 e B N ℏ displaystyle omega c left N right v F sqrt frac 2 left e right B N hbar de B N displaystyle B N magnitne pole sho vidpovidaye N displaystyle N mu rivnyu Landau sho zbigatisya z rivnem Fermi Ciklotronna shvidkist dzherelo Cej rozdil mozhe buti en dlya chitachiv Bud laska dopomozhit en Mozhlivo storinka obgovorennya mistit zauvazhennya shodo potribnih zmin V zagalnomu vipadku ciklotrona shvidkist zapisuyetsya v nastupnomu viglyadi v c w c r c e B r c m c displaystyle v c omega c cdot r c eB cdot frac r c m c de u vipadku tradicijnih trivimirnih napivprovidnikiv ciklotronnij radius ta masa viznachayutsya yak r c S i 2 l B displaystyle r c Si sqrt 2 l B m c S i c o n s t displaystyle m c Si const a u vipadku dvovimirnogo grafena r c S i l B 2 displaystyle r c Si frac l B sqrt 2 m c C v a r i a b l e displaystyle m c C variable de l B ℏ e B displaystyle l B sqrt frac hbar eB magnitna dovzhina Takim chinom v zvichajnomu trivimirnomu napivprovidniku v yakomu vikonuyetsya umova postijnoyi efektivnoyi masi mi budemo mati zminne znachennya dlya ciklotronnoyi shvidkosti napriklad v KEH v c S i 2 w c l B v a r i a b l e displaystyle v c Si sqrt 2 omega c l B variable Insha sprava dvovimirnij grafen Oskilki efektivna masa jogo nosiyiv zminyuyetsya to jogo ciklotrona shvidkist zavzhdi postijna v c C w c l B 2 v B c o n s t displaystyle v c C frac omega c l B sqrt 2 v B const Vikoristavshi ce mi mozhemo cherez neyi viznachiti i ciklotronnu chastotu w c C 2 v B l B displaystyle omega c C sqrt 2 frac v B l B ta ciklotronnu masu m c C e B r c C v c C 1 v B e B ℏ 2 displaystyle m c C eB cdot frac r c C v c C frac 1 v B sqrt frac eB hbar 2 Takim chinom za mezhami rozglyadu elementiv zonnoyi strukturi ta ciklotronnoyi masi lishilas postijna shvidkist v B displaystyle v B Zvidki vona vzyalasya i yakij yiyi masshtab Eksperimentalne obgruntuvannya postijnosti ciklotronnoyi shvidkosti v grafeniCej rozdil mozhe vidbigati vid temi statti Bud laska dopomozhit vstanoviti dorechnij zv yazok jogo vmistu iz predmetom statti Yaksho vmist rozdilu ne bude uzgodzheno zi statteyu jogo mozhe buti perepisano ob yednano z inshoyu statteyu abo vilucheno Podrobici mozhut buti na storinci obgovorennya Najtochnishe znachennya postijnoyi shvidkosti nosiyiv strumu v grafeni bulo znajdeno Diakonom ta insh v eksperimentah po vidguku fotoprovidnosti na vzircyah grafena z dekilkoma rivnyami Landau Ce eksperimentalne znachennya shvidkosti dlya riznih rivnej Landau znahodilosya v diapazoni znachen v B e x p 1 069 1 118 10 6 m s displaystyle v B exp 1 069 1 118 cdot 10 6 m s Ne vazhko pomititi sho poseredini cogo diapazonu znahoditsya yedina fizichna velichina shvidkosti yaka nazivayetsya borivskoyu oskilki viznachaye shvidkist ciklichnogo ruhu elektronu na pershij borivskij orbiti atoma Bora v B a c 2 1 0938453 10 6 m s displaystyle v B frac alpha c 2 1 0938453 cdot 10 6 m s Na sogodni rivnist cih shvidkostej v B v B e x p displaystyle v B v B exp vikonuyetsya z tochnistyu do dvoh procentiv D 2 2 displaystyle Delta pm 2 2 Bezumovno nadali tochnist zroste prote na skilki poki sho ne vidomo Div takozhCiklotronnij rezonansPrimitkiHook J R pp 158 159 A A Abrikosov 2010 Osnovy teorii metallov Moskva FIZMATLIT s 87 ISBN 978 5 9221 1097 6 Hook J R p 375 Eva Y Andrei Guohong Li and Xu Du Electronic properties of graphene a perspective from scanning tunneling microscopy and magnetotransport Rep Prog Phys 75 2012 056501 47pp arXiv 1204 4532 cond mat mes hall R S Deacon K C Chuang R J Nicholas K S Novoselov and A K Geim Cyclotron Resonance study of the electron and hole velocity in graphene monolayers arXiv 0704 0410v3LiteraturaHook J R Hall H E Solid State Physics 2 nd ed Chichester John Wiley amp Sons 1997 S 158 159 ISBN 0 471 92805 4 Ridli B Kvantovye processy v poluprovodnikah Moskva Mir 1986 S 63 64 ISBN UDK 537 33 535 2 PosilannyaFizicheskaya enciklopediya t 5 M Bolshaya Rossijskaya Enciklopediya str 429