Рівні Ландау — квантовані енергетичні рівні зарядженої частинки в магнітному полі. Енергія вільної частинки в постійному однорідному магнітному полі квантована в одному з поперечних до поля напрямків і набирає значень:
де — зведена стала Планка, — циклотронна частота, a n — квантове число, що може набирати цілих значень, починаючи з нуля.
Загальна енергія зарядженої частинки є сумою цього виразу і звичного виразу для кінетичної енергії в двох інших напрямках.
Фізична природа
Класична заряджена частинка в однорідному магнітному полі закручується, рухаючись по спіралі. Таким чином рух класичної частинки в магнітному полі обмежений просторово в напрямку перпендикулярному до вектора магнітної індукції. Аналогічне обмеження існує в квантовій механіці. Внаслідок локалізації руху частки її енергетичні рівні квантуються.
Це квантування лежить в основі квантовомеханічної теорії діамагнетизму, яка була розвинута на початку 30-х років XX-го століття радянським фізиком Левом Давидовичем Ландау. Відповідні дискретні рівні енергії квантової зарядженої частки в однорідному магнітному полі отримали назву рівнів Ландау.
Рівні Ландау важливі для розуміння діамагнетизму, проявляються в квантовому ефекті Хола, осциляціях магнітопровідності тощо.
Постановка проблеми
Розглянемо двовимірну систему невзаємодіючих часток із зарядом та спіном розташованій на замкненій системі в декартовій площині x-y. ДО цієї площини можна прикласти однорідне магнітне поле (індукцію) вздовж осі z. Використовуючи систему СГС, гамільтоніан цієї системи можна подати у вигляді
- ,
де є канонічний оператор імпульсу а — електромагнітний векторний потенціал, пов"язаний із магнітним полем:
- .
Існує певна свобода, пов'язана з вибором векторного потенціалу для заданого магнітного поля. Проте, гамільтоніан системи інваріантний щодо цього вибору, шляхом добавляння довільного градієнтного (скалярного) поля, що тільки змінює загальну фазу хвильових функцій на величину відповідну до скалярного поля. Фізичні властивості не зазнають впливу під час вибору певного калібрування. Для простоти можна скористатися калібруванням Ландау:
- ,
де . В рамках даного калібрування оператор Гамільтона буде:
- ,
Оператор комутує із цим оператором Гамільтона оскільки оператор відсутній за умовою калібрування. Тому оператор може бути замінений своїми власними числами . Цей гамільтоніан також може бути переписаний у простішій формі враховуючи циклотронну частоту :
- .
Це є остаточний гамільтоніан для квантового гармонічного осцилятора, тільки трохи зміщений відносно системи координат на величину .
Розв'язок рівняння Шредінгера
Стаціонарне рівняння Шредінгера для електрона в магнітному полі може бути записане у вигляді:
де — хвильова функція електрону, — енергія та індекс означає n-й рівень Ландау . Щоб розділити змінні в цьому рівнянні, розв'язок зручно шукати у вигляді добутку трьох функцій:
де и — розміри системи, и — хвильові вектори, індекс у хвильової функції означає, що вона залежить від нього, як від параметру. Підставляючи в отримаємо одномірне рівняння для
Це рівняння — не що інше, як рівняння Шредінгера для квантового гармонічного осцилятора зі зсувом мінімуму потенціалу. Таким чином, розв'язок записується у вигляді:
де — поліном Ерміта порядку .
Вплив електричного поля
Тепер можна розглянути вплив електричного поля на енергетичний спектр електрона в магнітному полі. Для цього перепишемо рівняння із врахуванням електричного поля , направленого по осі
котре після виділення повного квадрата може бути подане у вигляді
де и . Таким чином, ми бачимо, що електричне поле просто зсуває центр хвильової функції. Енегетичний спектр задається наступним виразом:
Двовимірний випадок
У двовимірному випадку рух уздовж однієї з осей (наприклад, осі z) квантований. У цьому разі спектр електронів складається із еквідистантних рівнів (з відстанню між рівнями , де визначається із компоненти магнітного поля вздовж осі z). Енергія електрона є
де — енергія електрона, пов'язана із рухом вздовж осі z.
Джерела
- Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К. : Знання, 2009. — 559 с.
- Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К. : Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
- Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.
Посилання
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivni Landau kvantovani energetichni rivni zaryadzhenoyi chastinki v magnitnomu poli Energiya vilnoyi chastinki v postijnomu odnoridnomu magnitnomu poli kvantovana v odnomu z poperechnih do polya napryamkiv i nabiraye znachen E n ℏ w c n 1 2 displaystyle E n hbar omega c n 1 2 de ℏ displaystyle hbar zvedena stala Planka w c displaystyle omega c ciklotronna chastota a n kvantove chislo sho mozhe nabirati cilih znachen pochinayuchi z nulya Zagalna energiya zaryadzhenoyi chastinki ye sumoyu cogo virazu i zvichnogo virazu dlya kinetichnoyi energiyi v dvoh inshih napryamkah Fizichna prirodaKlasichna zaryadzhena chastinka v odnoridnomu magnitnomu poli zakruchuyetsya ruhayuchis po spirali Takim chinom ruh klasichnoyi chastinki v magnitnomu poli obmezhenij prostorovo v napryamku perpendikulyarnomu do vektora magnitnoyi indukciyi Analogichne obmezhennya isnuye v kvantovij mehanici Vnaslidok lokalizaciyi ruhu chastki yiyi energetichni rivni kvantuyutsya Ce kvantuvannya lezhit v osnovi kvantovomehanichnoyi teoriyi diamagnetizmu yaka bula rozvinuta na pochatku 30 h rokiv XX go stolittya radyanskim fizikom Levom Davidovichem Landau Vidpovidni diskretni rivni energiyi kvantovoyi zaryadzhenoyi chastki v odnoridnomu magnitnomu poli otrimali nazvu rivniv Landau Rivni Landau vazhlivi dlya rozuminnya diamagnetizmu proyavlyayutsya v kvantovomu efekti Hola oscilyaciyah magnitoprovidnosti tosho Postanovka problemiRozglyanemo dvovimirnu sistemu nevzayemodiyuchih chastok iz zaryadom q displaystyle q ta spinom S displaystyle S roztashovanij na zamknenij sistemi A L 2 displaystyle A L 2 v dekartovij ploshini x y DO ciyeyi ploshini mozhna priklasti odnoridne magnitne pole indukciyu B 0 0 B displaystyle mathbf B begin pmatrix 0 0 B end pmatrix vzdovzh osi z Vikoristovuyuchi sistemu SGS gamiltonian ciyeyi sistemi mozhna podati u viglyadi H 1 2 m p q A c 2 displaystyle hat H frac 1 2m hat mathbf p q hat mathbf A c 2 de p displaystyle hat mathbf p ye kanonichnij operator impulsu a A displaystyle hat mathbf A elektromagnitnij vektornij potencial pov yazanij iz magnitnim polem B A displaystyle mathbf B mathbf nabla times mathbf A Isnuye pevna svoboda pov yazana z viborom vektornogo potencialu dlya zadanogo magnitnogo polya Prote gamiltonian sistemi invariantnij shodo cogo viboru shlyahom dobavlyannya dovilnogo gradiyentnogo skalyarnogo polya sho tilki zminyuye zagalnu fazu hvilovih funkcij na velichinu vidpovidnu do skalyarnogo polya Fizichni vlastivosti ne zaznayut vplivu pid chas viboru pevnogo kalibruvannya Dlya prostoti mozhna skoristatisya kalibruvannyam Landau A 0 B x 0 displaystyle hat mathbf A begin pmatrix 0 B x 0 end pmatrix de B B displaystyle B mathbf B V ramkah danogo kalibruvannya operator Gamiltona bude H p x 2 2 m p y 2 2 m q B m c x p y q 2 B 2 2 m c 2 x 2 displaystyle hat H frac hat p x 2 2m frac hat p y 2 2m frac qB mc hat x hat p y frac q 2 B 2 2mc 2 hat x 2 Operator p y displaystyle hat p y komutuye iz cim operatorom Gamiltona oskilki operator y displaystyle hat y vidsutnij za umovoyu kalibruvannya Tomu operator p y displaystyle hat p y mozhe buti zaminenij svoyimi vlasnimi chislami ℏ k y displaystyle hbar k y Cej gamiltonian takozh mozhe buti perepisanij u prostishij formi vrahovuyuchi ciklotronnu chastotu w c q B m c displaystyle omega c qB mc H p x 2 2 m 1 2 m w c 2 x ℏ k y m w c 2 displaystyle hat H frac hat p x 2 2m frac 1 2 m omega c 2 left hat x frac hbar k y m omega c right 2 Ce ye ostatochnij gamiltonian dlya kvantovogo garmonichnogo oscilyatora tilki trohi zmishenij vidnosno sistemi koordinat na velichinu x 0 ℏ k y m w c displaystyle x 0 frac hbar k y m omega c Rozv yazok rivnyannya ShredingeraStacionarne rivnyannya Shredingera dlya elektrona v magnitnomu poli mozhe buti zapisane u viglyadi ℏ 2 2 m 2 x 2 2 z 2 1 2 m i ℏ y e B c x 2 PS n x y z E n PS n x y z 4 displaystyle left frac hbar 2 2m left frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial z 2 right frac 1 2m left i hbar frac partial partial y frac eB c x right 2 right Psi n x y z E n Psi n x y z qquad 4 de PS n r displaystyle Psi n overrightarrow r hvilova funkciya elektronu E n displaystyle E n energiya ta indeks n displaystyle n oznachaye n j riven Landau Shob rozdiliti zminni v comu rivnyanni rozv yazok zruchno shukati u viglyadi dobutku troh funkcij PS n x y z 1 L z L y e i k z z e i k y y ps n k y x 5 displaystyle Psi n x y z frac 1 sqrt L z L y e ik z z e ik y y psi n k y x qquad 5 de L z displaystyle L z i L y displaystyle L y rozmiri sistemi k z displaystyle k z i k y displaystyle k y hvilovi vektori indeks k y displaystyle k y u hvilovoyi funkciyi ps n k y x displaystyle psi n k y x oznachaye sho vona zalezhit vid nogo yak vid parametru Pidstavlyayuchi 5 displaystyle 5 v 4 displaystyle 4 otrimayemo odnomirne rivnyannya dlya ps n k y x displaystyle psi n k y x ℏ 2 2 m d 2 d x 2 m w c 2 2 x k y l H 2 2 ps n k y x ϵ n ps n k y x 6 displaystyle left frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 frac m omega c 2 2 x k y l H 2 2 right psi n k y x epsilon n psi n k y x qquad 6 Ce rivnyannya ne sho inshe yak rivnyannya Shredingera dlya kvantovogo garmonichnogo oscilyatora zi zsuvom minimumu potencialu Takim chinom rozv yazok zapisuyetsya u viglyadi ps n k y x 1 2 n n p 1 2 l H e x k y l H 2 2 2 l H 2 H n x k y l H 2 l H 7 displaystyle psi n k y x frac 1 sqrt 2 n n pi 1 2 l H e frac x k y l H 2 2 2l H 2 H n left frac x k y l H 2 l H right qquad 7 de H n x displaystyle H n x polinom Ermita poryadku n displaystyle n Vpliv elektrichnogo polyaTeper mozhna rozglyanuti vpliv elektrichnogo polya na energetichnij spektr elektrona v magnitnomu poli Dlya cogo perepishemo rivnyannya 6 displaystyle 6 iz vrahuvannyam elektrichnogo polya e displaystyle varepsilon napravlenogo po osi x displaystyle x ℏ 2 2 m d 2 d x 2 m w c 2 2 x k y l H 2 2 e e x ps n k y x E n k y ps n k y x 8 displaystyle left frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 frac m omega c 2 2 x k y l H 2 2 e varepsilon x right psi n k y x E n k y psi n k y x qquad 8 kotre pislya vidilennya povnogo kvadrata mozhe buti podane u viglyadi ℏ 2 2 m d 2 d x 2 m w c 2 2 x X k y 2 e e k y l H 2 m 2 v d 2 ps n k y x E n k y ps n k y x 9 displaystyle left frac hbar 2 2m frac d 2 dx 2 frac m omega c 2 2 x X k y 2 e varepsilon k y l H 2 frac m 2 v d 2 right psi n k y x E n k y psi n k y x qquad 9 de X k y k y l H 2 v d w c displaystyle X k y k y l H 2 frac v d omega c i v d c e B displaystyle v d c frac varepsilon B Takim chinom mi bachimo sho elektrichne pole prosto zsuvaye centr hvilovoyi funkciyi Enegetichnij spektr zadayetsya nastupnim virazom E n k y ℏ w c n 1 2 e e X k y m 2 v d 2 10 displaystyle E n k y hbar omega c left n frac 1 2 right e varepsilon X k y frac m 2 v d 2 qquad 10 Dvovimirnij vipadokU dvovimirnomu vipadku ruh uzdovzh odniyeyi z osej napriklad osi z kvantovanij U comu razi spektr elektroniv skladayetsya iz ekvidistantnih rivniv z vidstannyu mizh rivnyami ℏ w c displaystyle hbar omega c de w c displaystyle omega c viznachayetsya iz komponenti magnitnogo polya vzdovzh osi z Energiya elektrona ye E n m E m ℏ w c n 1 2 11 displaystyle E n m E m hbar omega c left n frac 1 2 right qquad 11 de E m displaystyle E m energiya elektrona pov yazana iz ruhom vzdovzh osi z DzherelaBilij M U Ohrimenko B A Atomna fizika K Znannya 2009 559 s Fedorchenko A M Kvantova mehanika termodinamika i statistichna fizika Teoretichna fizika K Visha shkola 1993 T 2 415 s Yuhnovskij I R Osnovi kvantovoyi mehaniki K Libid 2002 392 s Landau L D Lifshic E M Kvantovaya mehanika Nerelyativistskaya teoriya Teoreticheskaya fizika M Fizmatlit 2008 T 3 800 s PosilannyaDiv takozhOscilyaciyi Zenera Bloha Kvantovij oscilyator Kvantovij ruh u pryamokutnij potencijnij yami