Калібрування векторного потенціалу

Калібрува́ння ве́кторного потенціа́лу — накладення додаткових умов, що дозволяють однозначно обчислити векторний потенціал електромагнітного поля (${\displaystyle \mathbf {A} }$) під час розв'язування тих чи інших фізичних задач. Накладені умови є штучними і покликані спростити математичні перетворення. Найбільшого поширення набули калібрування Кулона та калібрування Лоренца, але існують і застосовуються й інші калібрування.

Можливість та сенс калібрування

При введенні векторного (${\displaystyle \mathbf {A} }$) та скалярного (${\displaystyle \varphi }$) потенціалів електромагнітного поля виникає неоднозначність, що не створює жодних проблем фундаментального плану, але потребує вирішення для проведення розрахунків у конкретних задачах. А саме, перетворення

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }$,

${\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$,

де ${\displaystyle \psi =\psi ({\vec {r}},t)}$ — довільна скалярна функція координат (${\displaystyle {\vec {r}}}$) та часу (${\displaystyle t}$), не змінюють вигляду рівнянь Максвелла, отже, допустимі з погляду фізики. Необхідно зупинитися на якомусь виборі цієї функції, причому це можна зробити з міркувань математичної зручності. На практиці фіксують не функцію ${\displaystyle \psi }$ (за попередньо введених потенціалів), а накладають деяку додаткову умову на самі потенціали.

Приклади калібрувань

Кулонівське калібрування

Куло́нівське калібрува́ння — вибір векторного потенціалу магнітного поля (${\displaystyle \mathbf {A} }$) з додатковою умовою

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} =0}$

Це калібрування застосовують для розгляду нерелятивістських магнітостатичних задач.

Калібрування Лоренца

Калібрува́ння Ло́ренца — вибір векторного потенціалу електромагнітного поля з умовою

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{\partial \mathbf {\varphi } \over \partial t}=0}$, де ${\displaystyle \varphi }$ — електростатичний потенціал.

Це калібрування застосовується для розгляду динамічних задач. Калібрування Лоренца зберігається при перетвореннях Лоренца і в коваріантній формі його можна записати як

${\displaystyle {\partial A_{\mu } \over \partial x_{\mu }}=0}$

Калібрування Ландау

Калібрува́ння Ланда́у — вибір векторного потенціалу магнітного поля у вигляді ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})=Bx{\vec {e}}_{y}}$, де ${\displaystyle B}$ — магнітна індукція, а ${\displaystyle {\vec {e}}_{y}}$ — орт у напрямку осі ${\displaystyle y}$.

Використовується для зручності при розв'язуванні рівняння Шредінгера в магнітному полі, оскільки дозволяє розділити змінні в декартовій системі координат і отримати так звані рівні Ландау.

Симетричне калібрування

Симетри́чне калібрува́ння — вибір векторного потенціалу магнітного поля у вигляді ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {1}{2}}{\vec {B}}\times {\vec {r}}}$, де ${\displaystyle {\vec {B}}}$ — вектор магнітного поля, а ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радіус-вектор.

Калібрування Лондонів

Калібрува́ння Ло́ндонів — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {A}}=0}$

${\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {n}}=0}$, де ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — вектор нормалі до поверхні надпровідника.

У цьому калібруванні спрощується запис рівняння Лондонів для лінійної електродинаміки надпровідників.

Калібрування Вейля

Калібрува́ння Ве́йля — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

${\displaystyle \varphi =0}$

Інша назва — калібрування Гамільтона

${\displaystyle A_{4}=0}$

Калібрування Пуанкаре

Калібрува́ння Пуанкаре́ (мультиполя́рне калібрува́ння) — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0}$

Калібрування Фока — Швінгера

Калібрува́ння Фока — Шві́нгера — вибір векторного потенціалу магнітного поля так, щоб виконувалась умова

${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +t\cdot \varphi =0}$ ,

або

${\displaystyle x^{\mu }A_{\mu }=0}$

Калібрування Дірака

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}}$

Див. також

• Калібрувальна інваріантність

Примітки

1. Вперше запропонував Людвигом В. Лоренцем.