Осциляції Зенера — Блоха — коливання частинки, що рухається в періодичному потенціалі, під дією постійної сили. Прикладом системи, в якій можуть реалізуватися такі коливання, є кристалічне тверде тіло. В реальних кристалах створити умови для спостереження осциляцій Зенера-Блоха важко, однак вони спостерігалися в штучних системах — надґратках.
Кларенс Зенер розглянув такі коливання для електронів кристалу в зовнішньому електричному полі. Фелікс Блох узагальнив теорію на випадок будь-яких частинок та будь-яких сил.
Напівкласична теорія
Якщо знехтувати міжзонними переходами електронів в присутності зовнішнього електричного поля , то зміна квазі-імпульсу електрона визначається другим законом Ньютона:
- ,
де — елементарний електричний заряд. У відсутності зіткнень електрон проходить по всій зоні Брілюена, відбивається від її границі, знову пересікає зону, і знову відбивається на границі. Таким чином, незбурений рух електрона в зоні під дією постійного поля має характер осциляцій у - просторі, і, як наслідок, у звичайному просторі.
Нехай поле направлене вздовж вектора оберненої ґратки , який визначає положення границі зони Брілюена, що відбиває електрони. За одну осциляцію електрон проходить відстань . Якщо , де — період елементарної комірки, то циклічна частота коливань дорівнює:
- .
Оскільки , для поля В/см2 частота становить близько 10−13 Гц. Осциляції обмежені в просторі, а центр осциляцій знаходиться в певній комірці. В такій ситуації потенціал збурення видозмінює енергетичні рівні в зоні. І виникають стани, енергія яких відрізняється на величину , виникає східцева зміна енергії вздовж країв зони. Рівні енергії створюють т. з. штарківську драбину, названу так, оскільки її виникнення нагадує ефект Штарка в атомній фізиці. Ясно, що амплітуда , просторових осциляцій визначається шириною зони :
Оскільки на елементарну комірку приходиться один стан, то загальна кількість осциляцій залишається незмінною, проте інтервали між сусідніми рівнями енергії залишаються скінченними і однаковими.
Квантова теорія
Хвильова функція електрона в стані Зенера — Блоха, очевидно, відрізняється від плоскої хвилі, оскільки вже не є хорошим квантовим числом. Розглядаючи прикладений потенціал, як збурення:
- ,-
- ,
де — зонні функції Блоха. Теорія збурень дає
Матричний елемент зручніше всього обчислювати, враховуючи
Переходячи від сумування по до інтегрування за допомогою співвідношення
- ,
та інтегруючи частинами, використовуючи властивість ортогональності плоских хвиль:
звідки похідні
- ,
а також
Для того, щоб періодичність хвильової функції зберігалась, функція повинна бути періодичною. Якщо покласти
де — енергія центра зони, то із умови періодичності витікає рівність енергій
- ,
де — ціле число, а — вектор елементарної комірки. Таким чином, стан, якому відповідає власне значення , локалізований у просторі біля елементарної комірки, розташованої в точці , звідки покладаючи
Хвильові функції Блоха тут будуть
Тепер можна використати просту модель, яка описує зону в напрямі поля :
- ,
- ,
де - ширина зони. Далі припускаємо, що функція не залежить від . Тоді
де — функція Бесселя, — ціле число, а поле направлене вздовж осі . Біля точки функція веде себе подібно до стоячої хвилі із хвильовим вектором величини , тобто довжина хвильового вектора рівна половині відстані від центру зони Брілюена до її границі. Коли , асимптотичний розклад дає
де — класична амплітуда просторових осциляцій, а — основа натуральних логарифмів. Ясно, що при хвильова функція дуже швидко затухає. Вона зменшується і при , досягаючи максимуму при . Поведінка цієї хвильової функції якісно схожа на поведінку гармонічного осцилятора — вона зростає біля кінців відрізка, які відповідають класичним точкам повороту. Для того, щоб спостерігати це явище необхідно задовольнити умови
де — час між зіткненнями. Як правило розрахунок часу проводять для станів, близьких до країв зони. Типові значення для близько . Таким чином, електрон що здійснює коливання Зенера — Блоха, більшу частину часу перебуває біля країв зони, і тому розумно прийняти оцінку часу близько 10−13 c. Для цього необхідно створити поля більші за 2·105 В/см. В багатьох випадках таке сильне поле може привести до пробою напівпровідника.
Література
- Ридли Б. Квантовые процессы в полупроводниках. — М. : Мир, 1986. — 304 с.
- Zener C. -Proc.Roy.Soc. A, 1934,v.145,p.523.
Див. також
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Category:Quantum mechanics |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Oscilyaciyi Zenera Bloha kolivannya chastinki sho ruhayetsya v periodichnomu potenciali pid diyeyu postijnoyi sili Prikladom sistemi v yakij mozhut realizuvatisya taki kolivannya ye kristalichne tverde tilo V realnih kristalah stvoriti umovi dlya sposterezhennya oscilyacij Zenera Bloha vazhko odnak voni sposterigalisya v shtuchnih sistemah nadgratkah Klarens Zener rozglyanuv taki kolivannya dlya elektroniv kristalu v zovnishnomu elektrichnomu poli Feliks Bloh uzagalniv teoriyu na vipadok bud yakih chastinok ta bud yakih sil Napivklasichna teoriyaYaksho znehtuvati mizhzonnimi perehodami elektroniv v prisutnosti zovnishnogo elektrichnogo polya E displaystyle mathbf E to zmina kvazi impulsu elektrona k displaystyle mathbf k viznachayetsya drugim zakonom Nyutona ℏ d k d t e E displaystyle hbar frac d mathbf k dt e mathbf E de e displaystyle quad e elementarnij elektrichnij zaryad U vidsutnosti zitknen elektron prohodit po vsij zoni Brilyuena vidbivayetsya vid yiyi granici znovu peresikaye zonu i znovu vidbivayetsya na granici Takim chinom nezburenij ruh elektrona v zoni pid diyeyu postijnogo polya maye harakter oscilyacij u k displaystyle mathbf k prostori i yak naslidok u zvichajnomu prostori Nehaj pole E displaystyle mathbf E napravlene vzdovzh vektora obernenoyi gratki K displaystyle mathbf K yakij viznachaye polozhennya granici zoni Brilyuena sho vidbivaye elektroni Za odnu oscilyaciyu elektron prohodit vidstan K displaystyle K Yaksho K 2 p a displaystyle K frac 2 pi a de a displaystyle a period elementarnoyi komirki to ciklichna chastota kolivan dorivnyuye w z e E a ℏ displaystyle omega z frac eEa hbar Oskilki a 3 A displaystyle a approx 3 mathrm AA dlya polya 2 10 5 displaystyle 2 cdot 10 5 V sm2 chastota stanovit blizko 10 13 Gc Oscilyaciyi obmezheni v prostori a centr oscilyacij znahoditsya v pevnij komirci V takij situaciyi potencial zburennya e E r displaystyle e mathbf E mathbf r vidozminyuye energetichni rivni v zoni I vinikayut stani energiya yakih vidriznyayetsya na velichinu e E a displaystyle eEa vinikaye shidceva zmina energiyi vzdovzh krayiv zoni Rivni energiyi stvoryuyut t z shtarkivsku drabinu nazvanu tak oskilki yiyi viniknennya nagaduye efekt Shtarka v atomnij fizici Yasno sho amplituda L z displaystyle L z prostorovih oscilyacij viznachayetsya shirinoyu zoni W b displaystyle W b L z W b 2 e E displaystyle L z frac W b 2eE Oskilki na elementarnu komirku prihoditsya odin stan to zagalna kilkist oscilyacij zalishayetsya nezminnoyu prote intervali mizh susidnimi rivnyami energiyi zalishayutsya skinchennimi i odnakovimi Kvantova teoriyaHvilova funkciya elektrona v stani Zenera Bloha ochevidno vidriznyayetsya vid ploskoyi hvili oskilki k displaystyle mathbf k vzhe ne ye horoshim kvantovim chislom Rozglyadayuchi prikladenij potencial yak zburennya H 0 e E r ps z E z ps z displaystyle big H 0 e mathbf E cdot mathbf r big psi z E z psi z ps z 1 V k c k ϕ k r displaystyle psi z frac 1 sqrt V sum mathbf k propto c k phi k mathbf r de ps k r displaystyle psi k mathbf r zonni funkciyi Bloha Teoriya zburen daye c k k c k k e E r k W z W k displaystyle c k sum mathbf k propto frac c k left langle mathbf k eE mathbf r mathbf k right rangle W z W k Matrichnij element zruchnishe vsogo obchislyuvati vrahovuyuchi r exp i k r i D k exp i k r displaystyle mathbf r exp i mathbf k mathbf r i Delta k exp i mathbf k mathbf r Perehodyachi vid sumuvannya po k displaystyle mathbf k do integruvannya za dopomogoyu spivvidnoshennya k V 8 p 3 d k k displaystyle sum mathbf k propto to int frac V 8 pi 3 d mathbf k mathbf k ta integruyuchi chastinami vikoristovuyuchi vlastivist ortogonalnosti ploskih hvil k c k k e E r k e E D k c k d k k displaystyle sum mathbf k propto c k left langle mathbf k e mathbf E mathbf r mathbf k right rangle e mathbf E Delta k c k delta kk zvidki pohidni d c k d k i W z W k c k e E displaystyle frac dc k d mathbf k frac i W z W k c k eE a takozh c k c 0 exp i W z W k e E d k displaystyle c k c 0 exp left lbrace int frac i W z W k eE d mathbf k right rbrace Dlya togo shob periodichnist hvilovoyi funkciyi zberigalas funkciya c k displaystyle c k povinna buti periodichnoyu Yaksho poklasti W k W 0 W k displaystyle W k W 0 W mathbf k de W k W 0 displaystyle W k W 0 energiya centra zoni to iz umovi periodichnosti vitikaye rivnist energij W z W 0 e E n a displaystyle W z W 0 e mathbf E n mathbf a de n displaystyle n cile chislo a a displaystyle mathbf a vektor elementarnoyi komirki Takim chinom stan yakomu vidpovidaye vlasne znachennya W z displaystyle W z lokalizovanij u prostori bilya elementarnoyi komirki roztashovanoyi v tochci n a displaystyle n mathbf a zvidki pokladayuchi n a r displaystyle n mathbf a mathbf r c k c 0 exp i k r 0 i W k e E d k displaystyle c k c 0 exp left lbrace i big mathbf k mathbf r 0 int frac iW k eE d mathbf k big right rbrace Hvilovi funkciyi Bloha tut budut ps z V 1 2 c 0 k u k r exp i W k e E d k i k r 0 r displaystyle psi z V 1 2 c 0 sum mathbf k propto u k mathbf r exp left lbrace i int frac W mathbf k eE d mathbf k i mathbf k mathbf r 0 r right rbrace Teper mozhna vikoristati prostu model yaka opisuye zonu v napryami polya E displaystyle mathbf E W k W b 2 cos k a displaystyle W mathbf k frac W b 2 cos ka p a lt k lt p a displaystyle frac pi a lt k lt frac pi a de W b displaystyle W b shirina zoni Dali pripuskayemo sho funkciya u k r displaystyle u k mathbf r ne zalezhit vid k displaystyle mathbf k Todi ps z V 1 2 c 0 u r k exp i W b sin k a 2 e E a i k r 0 r displaystyle psi z V 1 2 c 0 u mathbf r sum mathbf k propto exp left lbrace frac iW b sin ka 2eEa i mathbf k mathbf r 0 r right rbrace c 0 u r J n W b 2 e E a n x 0 x a displaystyle c 0 u mathbf r J n frac W b 2eEa n x 0 x a de J n z displaystyle J n z funkciya Besselya n displaystyle n cile chislo a pole napravlene vzdovzh osi x displaystyle x Bilya tochki x x 0 displaystyle x x 0 funkciya J n z displaystyle J n z vede sebe podibno do stoyachoyi hvili iz hvilovim vektorom velichini p 2 a displaystyle pi 2a tobto dovzhina hvilovogo vektora rivna polovini vidstani vid centru zoni Brilyuena do yiyi granici Koli x 0 x a displaystyle x 0 x gg a asimptotichnij rozklad daye J n W b 2 e E a 1 x 0 x a 2 p x 0 x a 1 2 e n L z 2 x 0 x x 0 x a displaystyle J n left frac W b 2eEa right approx frac 1 x 0 x a 2 pi x 0 x a 1 2 left frac e n L z 2 x 0 x right x 0 x a de L z displaystyle L z klasichna amplituda prostorovih oscilyacij a e n displaystyle e n osnova naturalnih logarifmiv Yasno sho pri x 0 x gt e n L z 2 displaystyle x 0 x gt e n L z 2 hvilova funkciya duzhe shvidko zatuhaye Vona zmenshuyetsya i pri x 0 x 0 displaystyle x 0 x to 0 dosyagayuchi maksimumu pri x 0 x L z 2 displaystyle x 0 x L z 2 Povedinka ciyeyi hvilovoyi funkciyi yakisno shozha na povedinku garmonichnogo oscilyatora vona zrostaye bilya kinciv vidrizka yaki vidpovidayut klasichnim tochkam povorotu Dlya togo shob sposterigati ce yavishe neobhidno zadovolniti umovi w z t gt 1 displaystyle omega z tau gt 1 de t displaystyle tau chas mizh zitknennyami Yak pravilo rozrahunok chasu t displaystyle tau provodyat dlya staniv blizkih do krayiv zoni Tipovi znachennya dlya t displaystyle tau blizko 10 13 displaystyle 10 13 Takim chinom elektron sho zdijsnyuye kolivannya Zenera Bloha bilshu chastinu chasu perebuvaye bilya krayiv zoni i tomu rozumno prijnyati ocinku chasu blizko 10 13 c Dlya cogo neobhidno stvoriti polya bilshi za 2 105 V sm V bagatoh vipadkah take silne pole mozhe privesti do proboyu napivprovidnika LiteraturaRidli B Kvantovye processy v poluprovodnikah M Mir 1986 304 s Zener C Proc Roy Soc A 1934 v 145 p 523 Div takozhVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Category Quantum mechanics Rivni Landau Kvantovij oscilyator Oscilyaciyi Bloha