Ефективна маса

Ефективна маса — величина, яка характеризує інерційні властивості квазічастинок із параболічним законом дисперсії.

Ефективна маса здебільшого позначається латинською літерою m із астериском: m^*. До цього позначення додається нижній індекс, який вказує, до якої із квазічастинок це позначення стосується. Використовується індекс «e» для електронів, «h» для дірок, «ex» для екситонів тощо

Ефективна маса вимірюється здебільшого в одиницях маси вільного електрона.

Ефективна маса використовується у напівкласичному описі кінетичних явищ в твердих тілах. Рух квазічастинки, наприклад, електрона провідності, дірки чи екситона у зовнішніх полях в багатьох випадках аналогічний руху вільної частинки у вакуумі, проте із іншою масою.

Математичне формулювання

Квазічастинки характеризуються законом дисперсії, тобто залежністю енергії від квазі-імпульсу. У багатьох випадках найважливішими є ті стани квазічастинок, які мають найменшу енергію, тобто розташовані поблизу мінімумів закону дисперсії. В околі мінімуму закон дисперсії можна розкласти в ряд і зобразити у вигляді

${\displaystyle E=E_{0}+\sum _{i,j}a_{ij}(k_{i}-k_{0i})(k_{j}-k_{0j})\,}$,

де ${\displaystyle E}$ — енергія, ${\displaystyle \mathbf {k} }$ — хвильовий вектор, ${\displaystyle E_{0}}$ — енергія дна зони, ${\displaystyle \mathbf {k} _{0}}$ — точка зони Брілюена, в якій досягається мінімум дисперсійної кривої, ${\displaystyle a_{ij}}$ — характерні для даного кристалу й даної квазічастинки коефіцієнти розкладу.

${\displaystyle a_{ij}=\left.{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial ^{2}E(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}\right|_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}}$.

Тензор ефективної маси вводиться таким чином, щоб

${\displaystyle a_{ij}={\frac {\hbar ^{2}}{2}}m_{ij}^{*-1}}$.

Ефективна маса в загальному випадку тензорна величина. У випадку, коли мінімум дисперсійної кривої знаходиться в центрі зони Брілюена (Γ точка), ефективна маса стає скаляром. Така ситуація реалізується, наприклад, для електронів провідності в арсеніді галію, для дірок у кремнії чи германії. У цьому випадку закон дисперсії квазічастинки в околі дна зони записується у вигляді

${\displaystyle E=E_{0}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}}$.

У випадку електронів провідності в кремнії існує 6 еквівалентних мінімумів дисперсійної кривої в зоні Брілюена (6 долин). В такому випадку ефективна маса суттєво тензорна величина. Тензор другого рангу можна привести до діагональної форми, перейшовши у власну систему координат. В цій системі координат, осі якої збігаються із осями кубічної кристалічної ґратки, тензор ефективної маси має вигляд

${\displaystyle m^{*-1}=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{m_{\perp }}}&0&0\\0&{\frac {1}{m_{\perp }}}&0\\0&0&{\frac {1}{m_{\parallel }}}\end{matrix}}\right)}$

Ефективні маси поширених напівпровідників

Вказані в таблиці значення можна використовувати для обчислення густини станів. Для опису кінетичних явищ потрібно враховувати анізотропію

Матеріал	Електрон	Дірка
Група IV
Si (4.2K)	1.08	0.56
Ge	0.55	0.37
III-V
GaAs	0.067	0.45
	0.013	0.6
II-VI
ZnO	0.19	1.21
	0.17	1.44