Характеристичний поліном матриці

Характеристичний поліном квадратної матриці ${\displaystyle \ A}$ розміру ${\displaystyle \ n\times n}$ — це многочлен степеня ${\displaystyle \ n}$ від змінної ${\displaystyle \ \lambda ,}$ який дорівнює

${\displaystyle \ p_{A}(\lambda )=\det(A-I_{n}\lambda )}$, де ${\displaystyle I_{n}}$ — одинична матриця порядку ${\displaystyle n}$.

Мотивація

Скаляр ${\displaystyle \lambda }$ є власним значенням матриці A для власного вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$ тоді і тільки тоді коли:

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,\,}$

чи

${\displaystyle (\lambda I_{n}-A)\mathbf {v} =0\,}$

Оскільки ${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0,}$ то ${\displaystyle (\lambda I_{n}-A)}$ повинна бути виродженою, а отже:

${\displaystyle \det(\lambda I_{n}-A)=0}$.

Властивості

• Неважко переконатися, що

${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} A\lambda ^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det A}$

• Для матриць елементи яких комутативними є ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:

  ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}q_{n-i}{\Bigl (}\operatorname {tr} A,\operatorname {tr} A^{2}\ldots ,\operatorname {tr} A^{n-i}{\Bigr )}\lambda ^{i},}$

  де ${\displaystyle q_{n-i}}$— многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто ${\displaystyle e_{j}=q_{j}(p_{1},...p_{j}).}$)

• Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:

${\displaystyle \ p_{B^{-1}AB}(\lambda )=p_{A}(\lambda )}$

• Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:

${\displaystyle \ p_{BA}(\lambda )=p_{AB}(\lambda )}$

• Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці (теорема Гамільтона — Келі):

${\displaystyle \ p_{A}(A)=0.}$

Характеристичне рівняння

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння

${\displaystyle \ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=0}$

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці ${\displaystyle A.}$

Тільки вони є власними значеннями матриці ${\displaystyle A.}$

Див. також

• Визначник матриці
• Слід матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)