Функція маси ймовірності

Функція ймовірностей у теорії ймовірностей — найпоширеніший спосіб охарактеризувати дискретний розподіл.

Графік функції мас імовірності. Всі значення цієї функції мусять бути невід'ємними, і давати в сумі 1.

Визначення

Функція довільної імовірності

Нехай ${\displaystyle \mathbb {P} }$ є ймовірнісною мірою на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, тобто визначений ймовірнісний простір ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\mathbb {P} \right)}$, де ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$ позначає борелівську ${\displaystyle \sigma }$-алгебру на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Визначення 1. Ймовірнісна міра називається дискретною, якщо її носій ${\displaystyle \mathbb {P} }$ є не більш, ніж зліченним, тобто існує не більш, ніж зліченна підмножина ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ така, що ${\displaystyle \mathbb {P} (X)=1}$.

Визначення 2.Функція ${\displaystyle p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]}$, визначена в такий спосіб:

${\displaystyle p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus X\end{matrix}}\right.}$

називається функцією ймовірності ${\displaystyle \mathbb {P} }$.

Функція ймовірності випадкової величини

Визначення 3. Нехай ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ — випадкова величина (випадковий вектор). Тоді вона індукує ймовірнісну міру ${\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, що називається розподілом. Випадкова величина називається дискретною, якщо її розподіл дискретний. Функція ймовірності ${\displaystyle p_{X}}$ випадкової величини ${\displaystyle X}$ має вид:

${\displaystyle p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)}$.

чи коротше

${\displaystyle p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} }$,

де ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \}\subset {\mathbb {R} ^{n}}}$.

Властивості функції ймовірності

З властивостей імовірності очевидно випливає:

• ${\displaystyle p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N} }$.
• ${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1}$.
• Функція розподілу випадкової величини може бути виражена через її функцію імовірності:

${\displaystyle F_{X}(x)=\sum \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')}$.

• Якщо ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2})}$, те

${\displaystyle \sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1})}$,

${\displaystyle \sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2})}$,

де ${\displaystyle p_{X_{1},X_{2}}}$ — функція імовірності вектора ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$, а ${\displaystyle p_{X_{i}}}$ - функція імовірності величини ${\displaystyle X_{i},\;i=1,2}$. Це властивість очевидна узагальнюється для випадкових векторів розмірності ${\displaystyle n>2}$.

• Математичне сподівання функції від дискретної величини, якщо воно існує, має вид:

${\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\sum \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i}}$,

за умови що ряд у правій частині є абсолютно збіжним.

Приклади дискретних розподілів

• Розподіл Бернуллі;
• Біноміальний розподіл;
• Геометричний розподіл;
• Гіпергеометричний розподіл;
• Логарифмічний розподіл;
• Від'ємний біноміальний розподіл;
• Розподіл Пуассона;
• Дискретний рівномірний розподіл;
• Мультиноміальний розподіл.