Формула (теорема) Борда-Карно — у гідродинаміці це емпірична формула, що описує втрати механічної енергії рідини у зв'язку із раптовим розширенням потоку. Вона описує, як знижується повний напір у зв'язку із втратами. Це рівняння, на відміну від рівняння Бернуллі для ідеальної рідини, де загальна питома енергія рідини стала уздовж лінії течії дозволяє розрахувати втрати на місцевому гідравлічному опорі. Це рівняння назване на честь Жана-Шарля де Борда (Jean-Charles de Borda) (1733–1799) та Лазара Карно (Lazare Nicolas Marguerite Carnot) (1753–1823).
Це рівняння використовується як для відкритого (безнапірного) потоку у каналі, так і для потоків у трубах (напірних потоків).
Формулювання
Формула Борда-Карно має вигляд:
Де
- ΔE — втрата механічної енергії рідиною;
- ξ — емпіричний безрозмірний коефіцієнт втрат, що набуває величину між нулем і одиницею, 0 ≤ ξ ≤ 1;
- ρ — густина рідини;
- V1 і V2 — середня швидкість потоку перед і за раптовим розширенням відповідно.
У випадку раптового розширення коефіцієнт втрат дорівнює одиниці. В інших випадках, коефіцієнт втрат повинен бути визначений за допомогою інших засобів, найчастіше з використанням емпіричної формули (на основі даних, отриманих дослідним шляхом). Формула Брода-Карно для розрахунку втрат енергії справедлива для випадку зменшення швидкості,V 1 >V2, в іншому випадку втрати ΔE прямують до нуля (без додаткової механічної роботи сил тертя).
Приклади застосування
Раптове розширення потоку у трубі
Формула Борда-Карно може бути застосована для розрахунку втрат енергії для потоку, що проходить через раптове розширення горизонтальної труби. У перетині 1 середня швидкість потоку дорівнює V1, тиск становить p1 і площа поперечного перерізу S1. Відповідні величини для потоку у перетині 2 — після розширення становлять V2, p2 і S2, відповідно. Коефіцієнт втрат ξ для цього раптового розширення дорівнює одиниці :ξ = 1,0. Виходячи із закону збереження маси, вважаючи сталою густину рідини ρ, об'ємна витрата через обидва перерізи повинна бути однаковою (умова нерозривності):
- звідки
Отже, згідно з формулою Борода-Карно, втрати механічної енергії в цьому раптовому розширенні:
Відповідні втрати напору ΔH будуть:
Для цього випадку ξ = 1, уся зміна кінетичної енергії між двома перерізами розсіюється у вигляді тепла. Останній вираз ще називають формулою Борда. Ж.Борда отримав її в 1776р. Згідно з нею, втрати напору при раптовому розширенні дорівнюють швидкісному напору, підрахованому за втраченою швидкістю, так як різницю називають втраченою швидкістю.
На основі запису рівняння Бернуллі для двох перерізів можна отримати вираз для визначення зміни тиску між цими перерізами для горизонтальної труби:
або у напорах:
Мінус перед правою частиною рівняння, означає, що тиск (напір) є більшим після розширення труби. Те, що ця зміна тиску (напору), безпосередньо до і після розширення труби разом з втратою енергії на розсіювання відповідає зменшенню кінетичної енергії між відповідними перерізами випливає із рівняння Бернуллі.
Раптове звуження труби
У випадку раптового зменшення діаметра труби, потік не в змозі відтворити перехід до профілю вузької трубу. У результаті спостерігається зрив потоку, що приводить до появи завихрень біля входу у вузьку трубу. Основний потік спочатку звужується у перерізі 3, а потім знову розширюється, щоб покрити всю область труби у перерізі 2.
Між перетином 1 і перетином 3, у якому основний потік стискається найбільше втрати енергії незначні і ними нехтують. Але існують значні втрати в потоці, що розширюється від перерізу 3 до перерізу 2. Ці втрати напору можна виразити за допомогою формули Брода-Карно рівняння з врахуванням коефіцієнта стиснення потоку ε
де S3 — площа перерізу потоку у зоні найбільшого стиснення (переріз 3);
- S2 — площа перерізу труби меншого діаметра (переріз 2).
Оскільки S3 ≤ S2, коефіцієнт стиснення потоку ε ≤ 1 то на основі закону збереження маси при сталій густині (рідина нестискувана):
де V1, V2 and V3 середні швидкості у відповідних перерізах потоку. Тоді згідно з формулою Борда-Карно (при коефіцієнті втрат ξ=1) втрат питомої енергії ΔEна одиницю об'єму рідини:
Відповідні втрати напору ΔH можуть бути обчислені як ΔH = ΔE/(ρg).
Згідно з дослідженнями Ю. Вейсбаха (J. Weisbach), коефіцієнт стиснення для звуження з гострими краями становить приблизно:
Джерела
- Левицький Б. Ф., Лещій Н. П. Гідравліка. Загальний курс. — Львів: Світ, 1994. — 264с.
- Константінов Ю. М., Гіжа О. О. Технічна механіка рідини і газу: Підручник.- К.: Вища школа, 2002.-277с.: іл.
- Кулінченко В. Р. Гідравліка, гідравлічні машини і гідропривід: Підручник.- Київ: Фірма «Інкос», Центр навчальної літератури, 2006.-616с.
- Колчунов В. І. Теоретична та прикладна гідромеханіка: Навч. Посібник.-К.: НАУ, 2004.-336с.
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formula teorema Borda Karno u gidrodinamici ce empirichna formula sho opisuye vtrati mehanichnoyi energiyi ridini u zv yazku iz raptovim rozshirennyam potoku Vona opisuye yak znizhuyetsya povnij napir u zv yazku iz vtratami Ce rivnyannya na vidminu vid rivnyannya Bernulli dlya idealnoyi ridini de zagalna pitoma energiya ridini stala uzdovzh liniyi techiyi dozvolyaye rozrahuvati vtrati na miscevomu gidravlichnomu opori Ce rivnyannya nazvane na chest Zhana Sharlya de Borda Jean Charles de Borda 1733 1799 ta Lazara Karno Lazare Nicolas Marguerite Carnot 1753 1823 Ce rivnyannya vikoristovuyetsya yak dlya vidkritogo beznapirnogo potoku u kanali tak i dlya potokiv u trubah napirnih potokiv FormulyuvannyaFormula Borda Karno maye viglyad D E 3 1 2 r V 1 V 2 2 displaystyle Delta E xi scriptstyle frac 1 2 rho left V 1 V 2 right 2 De DE vtrata mehanichnoyi energiyi ridinoyu 3 empirichnij bezrozmirnij koeficiyent vtrat sho nabuvaye velichinu mizh nulem i odiniceyu 0 3 1 r gustina ridini V1 i V2 serednya shvidkist potoku pered i za raptovim rozshirennyam vidpovidno U vipadku raptovogo rozshirennya koeficiyent vtrat dorivnyuye odinici V inshih vipadkah koeficiyent vtrat povinen buti viznachenij za dopomogoyu inshih zasobiv najchastishe z vikoristannyam empirichnoyi formuli na osnovi danih otrimanih doslidnim shlyahom Formula Broda Karno dlya rozrahunku vtrat energiyi spravedliva dlya vipadku zmenshennya shvidkosti V1 gt V2 v inshomu vipadku vtrati DE pryamuyut do nulya bez dodatkovoyi mehanichnoyi roboti sil tertya Prikladi zastosuvannyaRaptove rozshirennya potoku u trubi Raptove rozshirennya potoku Formula Borda Karno mozhe buti zastosovana dlya rozrahunku vtrat energiyi dlya potoku sho prohodit cherez raptove rozshirennya gorizontalnoyi trubi U peretini 1 serednya shvidkist potoku dorivnyuye V1 tisk stanovit p1 i plosha poperechnogo pererizu S1 Vidpovidni velichini dlya potoku u peretini 2 pislya rozshirennya stanovlyat V2 p2 i S2 vidpovidno Koeficiyent vtrat 3 dlya cogo raptovogo rozshirennya dorivnyuye odinici 3 1 0 Vihodyachi iz zakonu zberezhennya masi vvazhayuchi staloyu gustinu ridini r ob yemna vitrata cherez obidva pererizi povinna buti odnakovoyu umova nerozrivnosti S 1 V 1 S 2 V 2 displaystyle S 1 V 1 S 2 V 2 zvidki V 2 S 1 S 2 V 1 displaystyle V 2 frac S 1 S 2 V 1 Otzhe zgidno z formuloyu Boroda Karno vtrati mehanichnoyi energiyi v comu raptovomu rozshirenni D E 1 2 r 1 S 1 S 2 2 V 1 2 displaystyle Delta E frac 1 2 rho left 1 frac S 1 S 2 right 2 V 1 2 Vidpovidni vtrati naporu DH budut D H D E r g 1 2 g 1 S 1 S 2 2 V 1 2 V 1 V 2 2 2 g displaystyle Delta H frac Delta E rho g frac 1 2 g left 1 frac S 1 S 2 right 2 V 1 2 frac left V 1 V 2 right 2 2g Dlya cogo vipadku 3 1 usya zmina kinetichnoyi energiyi mizh dvoma pererizami rozsiyuyetsya u viglyadi tepla Ostannij viraz she nazivayut formuloyu Borda Zh Borda otrimav yiyi v 1776r Zgidno z neyu vtrati naporu pri raptovomu rozshirenni dorivnyuyut shvidkisnomu naporu pidrahovanomu za vtrachenoyu shvidkistyu tak yak riznicyu V 1 V 2 displaystyle V 1 V 2 nazivayut vtrachenoyu shvidkistyu Na osnovi zapisu rivnyannya Bernulli dlya dvoh pereriziv mozhna otrimati viraz dlya viznachennya zmini tisku mizh cimi pererizami dlya gorizontalnoyi trubi D p p 1 p 2 r S 1 S 2 1 S 1 S 2 V 1 2 displaystyle Delta p p 1 p 2 rho frac S 1 S 2 left 1 frac S 1 S 2 right V 1 2 abo u naporah D h h 1 h 2 1 g S 1 S 2 1 S 1 S 2 V 1 2 displaystyle Delta h h 1 h 2 frac 1 g frac S 1 S 2 left 1 frac S 1 S 2 right V 1 2 Minus pered pravoyu chastinoyu rivnyannya oznachaye sho tisk napir ye bilshim pislya rozshirennya trubi Te sho cya zmina tisku naporu bezposeredno do i pislya rozshirennya trubi razom z vtratoyu energiyi na rozsiyuvannya vidpovidaye zmenshennyu kinetichnoyi energiyi mizh vidpovidnimi pererizami viplivaye iz rivnyannya Bernulli Raptove zvuzhennya trubi U potoci za raptovim zvuzhennyam u pererizi 3 sposterigayetsya vidriv potoku U vipadku raptovogo zmenshennya diametra trubi potik ne v zmozi vidtvoriti perehid do profilyu vuzkoyi trubu U rezultati sposterigayetsya zriv potoku sho privodit do poyavi zavihren bilya vhodu u vuzku trubu Osnovnij potik spochatku zvuzhuyetsya u pererizi 3 a potim znovu rozshiryuyetsya shob pokriti vsyu oblast trubi u pererizi 2 Mizh peretinom 1 i peretinom 3 u yakomu osnovnij potik stiskayetsya najbilshe vtrati energiyi neznachni i nimi nehtuyut Ale isnuyut znachni vtrati v potoci sho rozshiryuyetsya vid pererizu 3 do pererizu 2 Ci vtrati naporu mozhna viraziti za dopomogoyu formuli Broda Karno rivnyannya z vrahuvannyam koeficiyenta stisnennya potoku e ϵ S 3 S 2 displaystyle epsilon frac S 3 S 2 de S3 plosha pererizu potoku u zoni najbilshogo stisnennya pereriz 3 S2 plosha pererizu trubi menshogo diametra pereriz 2 Oskilki S3 S2 koeficiyent stisnennya potoku e 1 to na osnovi zakonu zberezhennya masi pri stalij gustini ridina nestiskuvana S 1 V 1 S 2 V 2 S 3 V 3 displaystyle S 1 V 1 S 2 V 2 S 3 V 3 de V1 V2 and V3 seredni shvidkosti u vidpovidnih pererizah potoku Todi zgidno z formuloyu Borda Karno pri koeficiyenti vtrat 3 1 vtrat pitomoyi energiyi DEna odinicyu ob yemu ridini D E 1 2 r V 3 V 2 2 1 2 r 1 ϵ 1 2 V 2 2 1 2 r 1 ϵ 1 2 S 1 S 2 2 V 1 2 displaystyle Delta E frac 1 2 rho left V 3 V 2 right 2 frac 1 2 rho left frac 1 epsilon 1 right 2 V 2 2 frac 1 2 rho left frac 1 epsilon 1 right 2 left frac S 1 S 2 right 2 V 1 2 Vidpovidni vtrati naporu DH mozhut buti obchisleni yak DH DE rg Zgidno z doslidzhennyami Yu Vejsbaha J Weisbach koeficiyent stisnennya dlya zvuzhennya z gostrimi krayami stanovit priblizno ϵ 0 63 0 37 S 2 S 1 3 displaystyle epsilon 0 63 0 37 left frac S 2 S 1 right 3 DzherelaLevickij B F Leshij N P Gidravlika Zagalnij kurs Lviv Svit 1994 264s ISBN 5 7773 0158 4 Konstantinov Yu M Gizha O O Tehnichna mehanika ridini i gazu Pidruchnik K Visha shkola 2002 277s il ISBN 966 642 093 7 Kulinchenko V R Gidravlika gidravlichni mashini i gidroprivid Pidruchnik Kiyiv Firma Inkos Centr navchalnoyi literaturi 2006 616s ISBN 966 8347 38 2 Kolchunov V I Teoretichna ta prikladna gidromehanika Navch Posibnik K NAU 2004 336s ISBN 966 598 174 9Div takozhDifuzor Gidravlichnij opir Formula Darsi Vejsbaha