Фактор-об'єкт

У теорії категорій підоб'єкт — це, загалом, об'єкт, що міститься в іншому об'єкті категорії. Визначення узагальнює старіші поняття підмножини в теорії множин і підгрупи в теорії груп. Оскільки «справжня» будова об'єктів у теорії категорій не розглядається, визначення спирається на використання морфізмів, а не «елементів».

Визначення

Нехай A — об'єкт деякої категорії. Маючи два мономорфізми:

u : S → A та

v : T → A

зі спільним образом A будемо казати що u ≤ v якщо u «пропускається через» v, тобто якщо існує морфізм w : S → T, такий що u = v ∘ w. Визначимо таке бінарне відношення:

u ≡ v тоді й лише тоді, коли u ≤ v і v ≤ u.

Це відношення еквівалентності на мономорфізмах з образом A, назвемо його класи еквівалентності підоб'єктами A. Мономорфізми з образом A і відношенням ≤ утворюють передпорядок, але визначення підоб'єкта гарантує, що підоб'єкти A утворюють частково впорядковану множину.

Двоїсте поняття до підоб'єкта — фактор-об'єкт; тобто, щоб отримати визначення фактор-об'єкта, потрібно замінити у визначенні вище «мономорфізм» на «епіморфізм» і поміняти напрямки всіх стрілок.

Приклади

У категорії множин підоб'єкти A відповідають підмножинам A, або, точніше, класу всіх вкладень множин, рівносильних даній, у дану підмножина. Те ж саме істинне в категорії груп і в деяких інших категоріях.

Див. також

• Класифікатор підоб'єктів
• Фактор-граф

Примітки

1. Mac Lane, p. 126

Література

• ^[en]. Categories for the Working Mathematician. — 2nd. — New York, NY : , 1998. — Т. 5. — () — .