Тест другої часткової похідної — метод використовуваний для визначення чи є критична точка функції максимумом, мінімумом чи сідловою точкою.
Тест
Функція від двох змінних
Припустимо, що f(x, y) — диференційовна дійснозначима функція двох змінних чиї часткові похідні існують. Матриця Гессе H для f це 2 × 2 матриця часткових похідних f:
- .
Нехай D(x, y) буде її визначником:
- .
Насамкінець, припустимо що (a, b) це критична точка f (тобто, fx(a, b) = fy(a, b) = 0). Тоді тест другої часткової похідної стверджує таке:
- Якщо і тоді є локальним мінімумом f.
- Якщо і тоді є локальним максимумом f.
- Якщо тоді є сідловою точкою f.
- Якщо тоді тест другої похідної не є достатним, і точка (a, b) може бути мінімумом, максимумом або сідловою точкою.
Обґрунтування
Скористаємось розкладенням у ряд Тейлора:
У критичній точці
Очевидно, що ми уникаємо точки інакше це не спрацює. Тепер введемо заміну маємо
Оскільки знак повністю визначає знак
Допоміжна лема
Розглянемо квадратичну функцію
- Якщо і або тоді для всіх
- Якщо і або тоді для всіх
- Якщо тоді існують значення такі, що і такі, що
У виродженому випадку потрібен додатковий тест за допомогою вищих похідних.
Заувага, глобальний мінімум чи максимум функції не завжди є у критичній точці. Слід перевірити границі й нескінченність.
Доведення:
- Нехай Якщо тоді що означає, що для деякого З іншого боку, якщо тоді отже знов, ми знаємо, що існує коли Якщо і набуває від'ємних значень, то виходить, що мусить десь обертатись у нуль. Ми можемо знайти коріні квадратного рівняння, тобто значення де
це значить, що тому значення , отримані з цієї формули, не є дійсними (бо містять ненульову уявну частину). Це означає, що ніколи не обертається на нуль для будь-якого отже ніколи не перетинає вісь тому - Цей випадок майже ідентичний попередньому.
- Якщо то перетинає вісь двічі, тобто вона має як додатні так і від'ємні значення.
Примітки
- Stewart, 2004, p. 803.
Див. також
Посилання
- Weisstein, Eric W. Тест другої часткової похідної(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Доведення тесту[недоступне посилання з липня 2019](англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Test drugoyi chastkovoyi pohidnoyi metod vikoristovuvanij dlya viznachennya chi ye kritichna tochka funkciyi maksimumom minimumom chi sidlovoyu tochkoyu TestFunkciya vid dvoh zminnih Gessian daye nablizhennya dlya funkciyi u kritichnij tochci za dopomogoyu mnogochlena drugogo stepenya Pripustimo sho f x y diferencijovna dijsnoznachima funkciya dvoh zminnih chiyi chastkovi pohidni isnuyut Matricya Gesse H dlya f ce 2 2 matricya chastkovih pohidnih f H x y fxx x y fxy x y fyx x y fyy x y displaystyle H x y begin pmatrix f xx x y amp f xy x y f yx x y amp f yy x y end pmatrix Nehaj D x y bude yiyi viznachnikom D x y det H x y fxx x y fyy x y fxy x y 2 displaystyle D x y det H x y f xx x y f yy x y left f xy x y right 2 Nasamkinec pripustimo sho a b ce kritichna tochka f tobto fx a b fy a b 0 Todi test drugoyi chastkovoyi pohidnoyi stverdzhuye take Yaksho D a b gt 0 displaystyle D a b gt 0 i fxx a b gt 0 displaystyle f xx a b gt 0 todi a b displaystyle a b ye lokalnim minimumom f Yaksho D a b gt 0 displaystyle D a b gt 0 i fxx a b lt 0 displaystyle f xx a b lt 0 todi a b displaystyle a b ye lokalnim maksimumom f Yaksho D a b lt 0 displaystyle D a b lt 0 todi a b displaystyle a b ye sidlovoyu tochkoyu f Yaksho D a b 0 displaystyle D a b 0 todi test drugoyi pohidnoyi ne ye dostatnim i tochka a b mozhe buti minimumom maksimumom abo sidlovoyu tochkoyu Obgruntuvannya Skoristayemos rozkladennyam u ryad Tejlora Df x x0 fx y y0 fy 12 x x0 2fxx x x0 y y0 fxy 12 y y0 2fyy displaystyle Delta f simeq x x 0 f x y y 0 f y frac 1 2 x x 0 2 f xx x x 0 y y 0 f xy frac 1 2 y y 0 2 f yy U kritichnij tochci Df displaystyle Delta f displaystyle simeq 12 x x0 2fxx x x0 y y0 fxy 12 y y0 2fyy displaystyle frac 1 2 x x 0 2 f xx x x 0 y y 0 f xy frac 1 2 y y 0 2 f yy displaystyle y y0 22 x x0y y0 2fxx x x0y y0 fxy fyy displaystyle frac y y 0 2 2 bigg bigg frac x x 0 y y 0 bigg 2 f xx bigg frac x x 0 y y 0 bigg f xy f yy bigg Ochevidno sho mi unikayemo tochki y y0 displaystyle y y 0 inakshe ce ne spracyuye Teper vvedemo zaminu z x x0y y0 displaystyle z frac x x 0 y y 0 mayemo Df y y0 22g z displaystyle Delta f frac y y 0 2 2 g z Oskilki y y0 22 0 displaystyle frac y y 0 2 2 geq 0 znak Df displaystyle Delta f povnistyu viznachaye znak g z displaystyle g z Dopomizhna lema Rozglyanemo kvadratichnu A 0 displaystyle A neq 0 funkciyu g x Ax2 2Bx C displaystyle g x Ax 2 2Bx C Yaksho AC B2 gt 0 displaystyle AC B 2 gt 0 i A gt 0 displaystyle A gt 0 abo C gt 0 displaystyle C gt 0 todi g x gt 0 displaystyle g x gt 0 dlya vsih x displaystyle x Yaksho AC B2 gt 0 displaystyle AC B 2 gt 0 i A lt 0 displaystyle A lt 0 abo C lt 0 displaystyle C lt 0 todi g x lt 0 displaystyle g x lt 0 dlya vsih x displaystyle x Yaksho AC B2 lt 0 displaystyle AC B 2 lt 0 todi isnuyut znachennya x displaystyle x taki sho g x gt 0 displaystyle g x gt 0 i taki sho g x lt 0 displaystyle g x lt 0 U virodzhenomu vipadku potriben dodatkovij test za dopomogoyu vishih pohidnih Zauvaga globalnij minimum chi maksimum funkciyi ne zavzhdi ye u kritichnij tochci Slid pereviriti granici j neskinchennist Dovedennya Nehaj AC B2 gt 0 displaystyle AC B 2 gt 0 Yaksho A gt 0 displaystyle A gt 0 todi limx g x displaystyle lim x rightarrow infty g x infty sho oznachaye sho g x gt 0 displaystyle g x gt 0 dlya deyakogo x displaystyle x Z inshogo boku yaksho C gt 0 displaystyle C gt 0 todi g 0 gt 0 displaystyle g 0 gt 0 otzhe znov mi znayemo sho isnuye x displaystyle x koli g x gt 0 displaystyle g x gt 0 Yaksho g displaystyle g i nabuvaye vid yemnih znachen to vihodit sho g displaystyle g musit des obertatis u nul Mi mozhemo znajti korini kvadratnogo rivnyannya tobto znachennya x displaystyle x de g x 0 displaystyle g x 0 x 2B 2B 2 4AC2A B B2 ACA displaystyle x frac 2B pm sqrt 2B 2 4AC 2A frac B pm sqrt B 2 AC A AC B2 gt 0 displaystyle AC B 2 gt 0 ce znachit sho B2 AC lt 0 displaystyle B 2 AC lt 0 tomu znachennya x displaystyle x otrimani z ciyeyi formuli ne ye dijsnimi bo mistyat nenulovu uyavnu chastinu Ce oznachaye sho g x displaystyle g x nikoli ne obertayetsya na nul dlya bud yakogo x displaystyle x otzhe g displaystyle g nikoli ne peretinaye vis x displaystyle x tomu z g z gt 0 displaystyle forall z g z gt 0 Cej vipadok majzhe identichnij poperednomu Yaksho AC B2 lt 0 displaystyle AC B 2 lt 0 to g x displaystyle g x peretinaye vis x displaystyle x dvichi tobto vona maye yak dodatni tak i vid yemni znachennya PrimitkiStewart 2004 p 803 Div takozhTest drugoyi pohidnoyiPosilannyaWeisstein Eric W Test drugoyi chastkovoyi pohidnoyi angl na sajti Wolfram MathWorld Dovedennya testu nedostupne posilannya z lipnya 2019 angl