Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема про Булеві прості ідеали в теорії порядку стверджує що ідеали в булевій алгебрі можуть бути розширені до простих

Теорема про булеві прості ідеали

Теорема про булеві прості ідеали

Теорема про Булеві прості ідеали в теорії порядку стверджує, що ідеали в булевій алгебрі можуть бути розширені до простих ідеалів.

Так як в теорії порядку більшість понять є , і двоїстим до ідеала є фільтр, то аналогічне твердження для фільтрів називається — лема про ультрафільтри.

Існують аналогічні формулювання і для інших алгебраїчних структур, наприклад, для кілець та їх простих ідеалів (в теорії кілець).

Всі ці формулювання не можуть бути доведені в рамках аксіом теорії множин Цермело-Френцеля (ZF).

В рамках ZFC деякі з них еквівалентні аксіомі вибору (AC), а саме теорема про Булеві прості ідеали (BPI) — є набагато слабшою за AC.

Лема про ультрафільтр

Лема:

Довільний фільтр на множині є підмножиною деякого ультрафільтра (максимального фільтра) на цій множині. (В ZFC лема еквівалентна AC).

Це історично перше з усіх формулювань.

Теореми про прості ідеали

Враховуючи, що:

Перефразуємо лему про ультрафільтр та отримаємо, теорему:

Довільний ідеал булеана є підмножиною простого ідеала.

Ця теорема узагальнюється на різні алгебраїчні структури. Якщо в них мова йде про прості ідеали, то її позначають PIT, а якщо про максимальні — MIT. Зазвичай версії MIT строгіші зі версії PIT.

Теорема про прості булеві ідеали

Якщо B — булева алгебра, I — деякий її ідеал, та F — її фільтр, такий що I та F не перетинаються (не мають спільних елементів).

Тоді I міститься в деякому простому ідеалі B, що не перетинається з F.

Узагальнення для деяких ґраток

Теорема також справедлива для дистрибутивних ґраток та імплікативних ґраток. Але для них максимальні та прості ідеали не збігаються, тому:

  • MIT для них еквівалентна AC.
  • PIT для дистрибутивних ґраток еквівалентна BPI.
  • Імплікативна ґратка не є самодвоїстою, тому для неї існують дві теореми.
    • MIT для дуальних понять імплікативних ґраток еквівалентна BPI.

Див. також

Джерела

  • Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Teorema pro Bulevi prosti ideali v teoriyi poryadku stverdzhuye sho ideali v bulevij algebri mozhut buti rozshireni do prostih idealiv Tak yak v teoriyi poryadku bilshist ponyat ye i dvoyistim do ideala ye filtr to analogichne tverdzhennya dlya filtriv nazivayetsya lema pro ultrafiltri Isnuyut analogichni formulyuvannya i dlya inshih algebrayichnih struktur napriklad dlya kilec ta yih prostih idealiv v teoriyi kilec Vsi ci formulyuvannya ne mozhut buti dovedeni v ramkah aksiom teoriyi mnozhin Cermelo Frencelya ZF V ramkah ZFC deyaki z nih ekvivalentni aksiomi viboru AC a same teorema pro Bulevi prosti ideali BPI ye nabagato slabshoyu za AC Lema pro ultrafiltrLema Dovilnij filtr na mnozhini ye pidmnozhinoyu deyakogo ultrafiltra maksimalnogo filtra na cij mnozhini V ZFC lema ekvivalentna AC Ce istorichno pershe z usih formulyuvan Teoremi pro prosti idealiVrahovuyuchi sho Filtr na mnozhini ye filtrom v bulevij algebri utvorenij buleanom ciyeyi mnozhini div predstavlennya bulevih algebr Dlya bulevoyi algebri ponyattya maksimalnogo filtru ta prostogo filtru zbigayutsya Ideal ce napravlena nizhnya mnozhina Ideal staye filtrom i navpaki yaksho zaminiti poryadok na do nogo Perefrazuyemo lemu pro ultrafiltr ta otrimayemo teoremu Dovilnij ideal buleana ye pidmnozhinoyu prostogo ideala Cya teorema uzagalnyuyetsya na rizni algebrayichni strukturi Yaksho v nih mova jde pro prosti ideali to yiyi poznachayut PIT a yaksho pro maksimalni MIT Zazvichaj versiyi MIT strogishi zi versiyi PIT Teorema pro prosti bulevi idealiYaksho B buleva algebra I deyakij yiyi ideal ta F yiyi filtr takij sho I ta F ne peretinayutsya ne mayut spilnih elementiv Todi I mistitsya v deyakomu prostomu ideali B sho ne peretinayetsya z F Uzagalnennya dlya deyakih gratokTeorema takozh spravedliva dlya distributivnih gratok ta implikativnih gratok Ale dlya nih maksimalni ta prosti ideali ne zbigayutsya tomu MIT dlya nih ekvivalentna AC PIT dlya distributivnih gratok ekvivalentna BPI Implikativna gratka ne ye samodvoyistoyu tomu dlya neyi isnuyut dvi teoremi MIT dlya dualnih ponyat implikativnih gratok ekvivalentna BPI Div takozhTeorema Stouna pro predstavlennya bulevih algebrDzherelaBirkgof G Teoriya reshyotok per s angl V N Salij pod red L A Skornyakova 3 e izd Moskva Nauka 1984 568 s ros

Дата публікації:
Топ