Теорема Рауса

Теорема Рауса визначає відношення між площами даного трикутника і трикутника, утвореного трьома попарно перетинними чевіанами. Теорема стверджує, що якщо в трикутнику ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ і ${\displaystyle F}$ лежать на сторонах ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ і ${\displaystyle AB}$ відповідно, то, якщо позначити ${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}}$${\displaystyle =x}$, ${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}}$${\displaystyle =y}$ і ${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}}$${\displaystyle =z}$, орієнтована площа трикутника, утвореного чевіанами ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$ і ${\displaystyle CF}$ відносно площі трикутника ${\displaystyle ABC}$ виражається співвідношенням

${\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}}$

Теорему довів Едвард Раус на 82 сторінці його Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples 1896 року. В окремому випадку, ${\displaystyle x=y=z=2}$ теорема перетворюється на відому теорему про одну сьому площі трикутника. В разі ${\displaystyle x=y=z=1}$ медіани перетинаються в центроїді.

Доведення

Нехай площа трикутника ${\displaystyle ABC}$ дорівнює ${\displaystyle 1}$. Для трикутника ${\displaystyle ABD}$ і лінії ${\displaystyle FRC}$, за теоремою Менелая, отримаємо:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$

Тоді ${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$. Тому площа трикутника ${\displaystyle ARC}$ дорівнює

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

Аналогічно, отримуємо: ${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$ і ${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$.

Таким чином, площа трикутника ${\displaystyle PQR}$ дорівнює:

${\displaystyle \displaystyle S_{PQR}=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}}$

${\displaystyle =1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}}$

${\displaystyle ={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.}$

Посилання

• Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh's theorem», Crux Mathematicorum 7: 199—203.
• HSM Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219—220, 2nd edition, Wiley, New York.
• JS Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh's theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21: 37-40
• Jay Warendorff. Routh 's Theorem [ 6 серпня 2019 у Wayback Machine.] The Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. Routh's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Routh's Theorem by Cross Products — MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh's theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.