Теорема Коші-Ковалевської

Теорема Коші — Ковалевської — теорема про існування та єдиність локального розв'язку задачі Коші для диференціального рівняння в частинних похідних. Частковий випадок був доведений Огюстеном Коші в 1842 році, сама теорема була повністю доведена Софією Ковалевською в 1875 році.

Формулювання

Нехай початкові умови

${\displaystyle {\frac {\partial ^{s}u}{\partial t^{s}}}\mid _{t=t^{0}}=\phi ^{s}(x_{1},\dots ,x_{n})}$, ${\displaystyle s=1,\dots ,k-1}$, де ${\displaystyle t^{0}}$ - фіксоване значення змінної ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \phi ^{s}}$ - задані функції змінних ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$,

задачі Коші для диференціального рівняння

${\displaystyle {\frac {\partial ^{k}u}{\partial t^{k}}}=F\left(x_{1},\dots ,x_{n},u,\dots ,{\frac {\partial ^{\alpha _{0}}}{\partial t^{\alpha _{0}}}}\left({\frac {\partial ^{\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}}u}{\partial x_{1}\dots \partial x_{n}}}\right),\dots \right)}$, де ${\displaystyle t,x_{1},\dots ,x_{n}}$ - незалежні змінні, ${\displaystyle \alpha _{0}\leq k-1}$ і ${\displaystyle \alpha _{1}+\dots +\alpha _{n}\leq k}$,

є аналітичними функціями незалежних змінних в околі точки ${\displaystyle (x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$. Тоді, якщо права частина даного рівняння є аналітичною функцією всіх своїх аргументів в околі точки їх числових значень, що відповідають точці ${\displaystyle P(t^{0},x_{1}^{0},\dots ,x_{n}^{0})}$ в силу початкових умов, то в околі цієї точки існує аналітичний розв’язок задачі Коші, і цей розв’язок буде єдиним в класі аналітичних функцій.

Тут під аргументами розуміються не тільки незалежні змінні, а й значення невідомих функцій і їх похідних, що стоять у правій частині, обчислені через початкові умови.

Узагальнення

У 1983 році японський математик ^[en] узагальнив теорему Коші — Ковалевської для систем лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних з аналітичними коефіцієнтами. Доведена їм теорема отримала назву Коші — Ковалевської — Касівари. Ця теорема передбачає когомологічне формулювання у термінах D-модулів.

Джерела

• Владимиров, В.С.; Жаринов, В.В. (2004), Уравнения математической физики, М.:ФИЗМАТЛИТ, ISBN 
• Cauchy, Augustin (1842), Mémoire sur l'emploi du calcul des limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles, Comptes rendus, 15 Том VII, с. 17–58.
• von Kowalevsky, Sophie (1875), Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 80: 1—32
• Kashiwara, M. (1983), Systems of microdifferential equations, Progress in Mathematics, т. 34, Birkhäuser, ISBN