Теорема Гадвіґера

Теорема Гадвіґера характеризує неперервні валюації на опуклих тілах в евклідовому просторі, інваріантні відносно рухів. Доведена .

Вступ

Валюації

Див. також: Валюація

Нехай ${\displaystyle K^{n}}$ — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Валюація на ${\displaystyle K^{n}}$ це функція ${\displaystyle v:K^{n}\to \mathbb {R} }$ така, що рівняння

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)}$

виконується для будь-яких ${\displaystyle S,T\in K^{n}}$ таких, що ${\displaystyle S\cup T\in K^{n}}$,

При цьому

• Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
• Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого ${\displaystyle S\in K^{n}}$виконується

  ${\displaystyle v(S)=v(\phi (S))}$

Середня поперечна міра

${\displaystyle k}$-а середня поперечна міра ${\displaystyle W_{k}(S)}$ тіла ${\displaystyle S\in K^{n}}$ визначається як середня ${\displaystyle k}$-вимірна площа проєкцій ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle k}$-вимірні площини.

Зокрема,

• ${\displaystyle W_{n}(S)}$ — об'єм ${\displaystyle S}$,
• ${\displaystyle W_{n-1}(S)}$ — пропорційна площі поверхні ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)}$

Формулювання

Будь-яку неперервну валюацію v на Kⁿ, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді

${\displaystyle v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).}$

Наслідок

Будь-яка неперервна валюація v на Kⁿ, інваріантна відносно жорстких рухів і однорідна за степенем j, кратна W_n-j.

Література

• Семён Алескер. Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль
• Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin : Springer, 1957.
• Klain, D.A.; Rota, G.-C. Introduction to geometric probability. — Cambridge : Cambridge University Press, 1997. — .
• Chen, B. A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem // Geom. Dedicata : journal. — 2004. — Vol. 105 (11 November). — P. 107—120. — DOI:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46.