Валюація

Валюація — узагальнення поняття міри, зазвичай визначається на опуклих множинах евклідового простору.

Визначення

Нехай ${\displaystyle K^{n}}$ — клас усіх непорожніх компактних опуклих множин ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Валюація на ${\displaystyle K^{n}}$ це функція ${\displaystyle v:K^{n}\to \mathbb {R} }$ така, що рівняння

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)}$

виконується для будь-яких ${\displaystyle S,T\in K^{n}}$ таких, що ${\displaystyle S\cup T\in K^{n}}$,

Зауваження

• Валюація називається неперервною, якщо вона неперервна відносно метрики Гаусдорфа.
• Валюація називається інваріантною відносно рухів, якщо для будь-якого руху φ і будь-якого ${\displaystyle S\in K^{n}}$виконується

  ${\displaystyle v(S)=v(\phi (S))}$

Приклади

Середня поперечна міра

${\displaystyle k}$-а середня поперечна міра ${\displaystyle W_{k}(S)}$ тіла ${\displaystyle S\in K^{n}}$ визначається як середня ${\displaystyle k}$-вимірна площа проєкцій ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle k}$-вимірні площини.

Зокрема,

• ${\displaystyle W_{n}(S)}$ — об'єм ${\displaystyle S}$,
• ${\displaystyle W_{n-1}(S)}$ — пропорційна площі поверхні ${\displaystyle S}$.
• ${\displaystyle W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)}$

Валюація Дірака

Валюація Дірака ${\displaystyle \delta _{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ визначається як

${\displaystyle \delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{якщо}}~x\notin U\\1&{\text{якщо}}~x\in U\end{cases}}}$

Властивості

• Теорема Гадвіґера: будь-яку неперервну валюацію, інваріантну відносно рухів, можна подати у вигляді лінійної комбінації поперечних мір.
• Будь-яка валюація на цілих багатогранниках, інваріантна відносно цілих зсувів і ${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )}$, виражається як лінійна комбінація коефіцієнтів многочлена Ергарта.

Література

• . Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах [ 25 квітня 2021 у Wayback Machine.]. Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа «Алгебра и геометрия» 25—31 июля, 2014 Ярославль

Примітки

1. Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202—208.