Теорема Барб'є

Теоре́ма Барб'є́ — теорема французького астронома і математика , що описує довжину кривих сталої ширини. Сформульована і доведена Барб'є в 1860 році.

Формулювання

Теорема.

Довжина будь-якої кривої сталої ширини ${\displaystyle a}$ дорівнює ${\displaystyle \pi a}$.

Доведення

Існує кілька доведень теореми Барб'є:

• Базується на методах опуклої геометрії. З одного боку, опукла фігура є фігурою сталої ширини ${\displaystyle a}$, якщо і тільки якщо сума Мінковського і її образу при центральній симетрії виявляється колоом радіуса ${\displaystyle a}$. З іншого боку, при сумі за Мінковським плоских опуклих фігур, їх периметри складаються, периметр фігури сталої ширини дорівнює половині периметра кола радіуса ${\displaystyle a}$, тобто ${\displaystyle \pi a}$.
• Базується на теорії ймовірностей. Барб'є довів теорему, яка узагальнює відому відповідь в задачі Бюффона про кидання голки. Він показав, що при киданні опуклої фігури на площину, розкреслену лініями на відстані ${\displaystyle d}$ одна від одної, якщо фігура не може перетнути більше однієї з цих ліній, то ймовірність, що фігура перетне одну з ліній, дорівнює ${\displaystyle {\frac {L}{\pi d}}}$, де ${\displaystyle L}$ — периметр цієї фігури. Оскільки фігура сталої ширини ${\displaystyle a}$ задовольняє умові цієї теореми для ${\displaystyle d=a}$, а ймовірність перетину в цьому випадку дорівнює одиниці, її периметр повинен дорівнювати ${\displaystyle \pi a}$.

Варіації та узагальнення

• Теорема Барб'є так само виконується для фігур сталої ширини в .
• Формула Крофтона

Примітки

1. Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut The Knot (англійською) . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
2. [E.] Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1860. — Т. 5. — С. 273—286.
3. Seneta Е., Parshall K. H., Jongmans F. Nineteenth-Century Developments in Geometric Probability: J. J. Sylvester, M. W. Crofton, J.-É. Barbier, and J. Bertrand // Archive for History of Exact Sciences. — 2001. — Т. 55 (6). — С. 501-524.
4. Bogomolny A. Math Surprises: An Example. Cut The Knot (англійською) . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.

Література

• Barbier E. . — Т. 5. — С. 273—286.
• Bogomolny A. The Theorem of Barbier. Cut the Knot (англійською) . Архів оригіналу за 4 лютого 2012. Процитовано 20 грудня 2011.
• Barbier theorem // Encyclopaedia of Mathematics. — Berlin : Springer-Verlag, 2002. — . (англ.)
• Weisstein, Eric W. Barbier's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.