Крива сталої ширини

Крива сталої ширини $w$ — плоска опукла крива, довжина ортогональної проєкції якої на будь-яку пряму дорівнює $w$ .

Іншими словами, кривою сталої ширини називається плоска опукла крива, відстань між будь-якими двома паралельними опорними прямими якої постійна і дорівнює $w$ — ширині кривої.

Пов'язані означення

Фігурою сталої ширини називається фігура, межею якої є крива сталої ширини.

Приклади

Гладка крива сталої ширини, побудована на базі трикутника і складена з фрагментів шести сполучених кіл. Ширина w = a + b — c +2y, де a, b , c — сторони трикутника (a, b > c, y>0).

Фігурами сталої ширини, зокрема, є коло і многокутники Рело (окремий випадок останніх — трикутник Рело). Багатокутники Рело складені з фрагментів кіл і не є гладкими кривими. З сполучених фрагментів кіл можна побудувати і гладку криву сталої ширини (рисунок праворуч), але подальше збільшення гладкості кривої на цьому шляху неможливо.

Функціональне уявлення

На відміну від наведених вище найпростіших прикладів, криві постійної ширини можуть не збігатися з колом ні на якому кінцевому відрізку і бути всюди як завгодно гладкими. У загальному вигляді фігура постійної ширини $w$ c опорною функцією $p(t)$ задається параметричними рівняннями

$x=p(t)cos(t)-p'(t)sin(t)$

$y=p(t)sin(t)+p'(t)cos(t)$ ,

за умов

$\omega =p(t)+p(t+\pi )$
отримана крива є опуклою

Згідно елементарної тригонометрії першому умові задовольняє ряд Фур'є такого вигляду:

$p(t)={\frac {w}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{+\infty }a_{k}\cos \left((2k-1)t+\theta _{k}\right)$

Якщо коефіцієнти ряду зменшуються досить швидко, то основна крива буде опуклою (без самоперетинів).

Зокрема, опорна функція $p(t)=9+cos(3t)$ породжує криву постійної ширини, для якої знайдено неявне подання до вигляді рівняння для полінома 8-го ступеня

$(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}$

$+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x[16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}=0$

Ця крива є аналітичною функцією в околиці будь-якої точки або від x, або від y і в жодному разі не збігається з колом.

Джерела

И. М. Яглом, В. Г. Болтянский, Выпуклые фигуры [ 10 червня 2019 у Wayback Machine.], выпуск 4 серии «Библиотека математического кружка» М.-Л., ГТТИ, 1951.-343 с.

Це незавершена стаття з геометрії.
Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її.

В іншому мовному розділі є повніша стаття Кривая постоянной ширины(рос.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з російської.

Дивитись автоперекладену версію статті з мови «російська».
Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
Докладні рекомендації: див. .

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Kriva staloyi shirini w displaystyle w ploska opukla kriva dovzhina ortogonalnoyi proyekciyi yakoyi na bud yaku pryamu dorivnyuye w displaystyle w Trikutnik Relo kriva staloyi shirini Storoni kvadrata oporni pryami kozhna storona dotichna do trikutnika ale ne peretinaye jogo Trikutnik Relo mozhna obertati i pri comu vin zavzhdi bude torkatisya kozhnoyi storoni kvadrata takim chinom shirina trikutnika vidstan mizh dvoma opornimi pryamimi stala Inshimi slovami krivoyu staloyi shirini nazivayetsya ploska opukla kriva vidstan mizh bud yakimi dvoma paralelnimi opornimi pryamimi yakoyi postijna i dorivnyuye w displaystyle w shirini krivoyi Pov yazani oznachennyaFiguroyu staloyi shirini nazivayetsya figura mezheyu yakoyi ye kriva staloyi shirini PrikladiMnogokutniki Relo Gladka kriva staloyi shirini pobudovana na bazi trikutnika i skladena z fragmentiv shesti spoluchenih kil Shirina w a b c 2y de a b c storoni trikutnika a b gt c y gt 0 Figurami staloyi shirini zokrema ye kolo i mnogokutniki Relo okremij vipadok ostannih trikutnik Relo Bagatokutniki Relo skladeni z fragmentiv kil i ne ye gladkimi krivimi Z spoluchenih fragmentiv kil mozhna pobuduvati i gladku krivu staloyi shirini risunok pravoruch ale podalshe zbilshennya gladkosti krivoyi na comu shlyahu nemozhlivo Funkcionalne uyavlennyaNa vidminu vid navedenih vishe najprostishih prikladiv krivi postijnoyi shirini mozhut ne zbigatisya z kolom ni na yakomu kincevomu vidrizku i buti vsyudi yak zavgodno gladkimi U zagalnomu viglyadi figura postijnoyi shirini w displaystyle w c opornoyu funkciyeyu p t displaystyle p t zadayetsya parametrichnimi rivnyannyami x p t c o s t p t s i n t displaystyle x p t cos t p t sin t y p t s i n t p t c o s t displaystyle y p t sin t p t cos t za umov w p t p t p displaystyle omega p t p t pi otrimana kriva ye opukloyu Zgidno elementarnoyi trigonometriyi pershomu umovi zadovolnyaye ryad Fur ye takogo viglyadu p t w 2 k 2 a k cos 2 k 1 t 8 k displaystyle p t frac w 2 sum limits k 2 infty a k cos left 2k 1 t theta k right Yaksho koeficiyenti ryadu zmenshuyutsya dosit shvidko to osnovna kriva bude opukloyu bez samoperetiniv Zokrema oporna funkciya p t 9 c o s 3 t displaystyle p t 9 cos 3t porodzhuye krivu postijnoyi shirini dlya yakoyi znajdeno neyavne podannya do viglyadi rivnyannya dlya polinoma 8 go stupenya x 2 y 2 4 45 x 2 y 2 3 41283 x 2 y 2 2 7950960 x 2 y 2 16 x 2 3 y 2 3 displaystyle x 2 y 2 4 45 x 2 y 2 3 41283 x 2 y 2 2 7950960 x 2 y 2 16 x 2 3y 2 3 48 x 2 y 2 x 2 3 y 2 2 x 2 3 y 2 x 16 x 2 y 2 2 5544 x 2 y 2 266382 720 3 0 displaystyle 48 x 2 y 2 x 2 3y 2 2 x 2 3y 2 x 16 x 2 y 2 2 5544 x 2 y 2 266382 720 3 0 Cya kriva ye analitichnoyu funkciyeyu v okolici bud yakoyi tochki abo vid x abo vid y i v zhodnomu razi ne zbigayetsya z kolom DzherelaI M Yaglom V G Boltyanskij Vypuklye figury 10 chervnya 2019 u Wayback Machine vypusk 4 serii Biblioteka matematicheskogo kruzhka M L GTTI 1951 343 s Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Krivaya postoyannoj shiriny ros Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z rosijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi rosijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad

Крива сталої ширини w displaystyle w плоска опукла крива довжина ортогональної проєкції якої на будь яку пряму дорівнює

Пов'язані означення

Приклади

Функціональне уявлення

Джерела