Стискуюче відображення

Стискальним відображенням у метричному просторі називається відображення яке, умовно кажучи, зменшує відстані між точками.

Нехай ${\displaystyle F\subset \mathbb {M} }$ — підмножина метричного простору ${\displaystyle (\mathbb {M} ,\rho )}$ і на F визначено відображення ${\displaystyle f:F\to F}$. Воно називається стискуючим на F, якщо ${\displaystyle \exists \alpha \in (0;1):}$ для ${\displaystyle {\forall }x,y\in F\to {\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}}$.

Довільне стискуюче відображення є відображенням Ліпшиця і, як наслідок, рівномірно неперервним відображенням.

Довільне стискуюче відображення має щонайбільше одну нерухому точку, тобто точку ${\displaystyle \mathbb {} x^{*}:f(x^{*})=x^{*}}$. Згідно з теоремою Банаха якщо дане відображення задано на замкнутій підмножині повного метричного простору то існує єдина нерухома точка, причому ітераційна послідовність x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... збігається до цієї точки.

Див. також

• Коротке відображення

Джерела

• М. І. Жалдак, Г. О. Михалін, С. Я. Деканов. — Київ, НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. - 430 с.