Відображення Ліпшиця

Ліпшицеве відображення — відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ між двома метричними просторами, застосування якого збільшує відстані не більше, ніж в деяку константу раз.

Визначення

Для будь-якої ліпшицевої функції, існує подвійний конус (показаний білим) чия вершина може пересуватись уздовж графіка, так що сам графік залишається повністю поза конусом.

Відображення ${\displaystyle f}$ метричного простору ${\displaystyle (X,\;\rho _{X})}$ у метричний простір ${\displaystyle (Y,\;\rho _{Y})}$ називається ліпшицевим, якщо знайдеться деяка константа ${\displaystyle L}$ (константа Ліпшиця цього відображення), така, що

${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),\;f(y))\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;y)}$

при будь-яких ${\displaystyle x,\;y\in X}$. Цю умову називають умовою Ліпшиця.

Відображення з ${\displaystyle L=1}$ (1-ліпшицеве ​​відображення) називають також коротким відображенням.

Пов'язані визначення

• Відображення, що задовольняє вищенаведеній умові, називається також ${\displaystyle L}$-ліпшицевим.
• Нижня грань чисел ${\displaystyle L}$, що задовольняють вищенаведену нерівність, називається константою Ліпшиця відображення ${\displaystyle f}$.
• Відображення називається локально ліпшицевим, якщо для довільної точки області визначення існує окіл в якому відображення є ліпшицевим.
• Відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ називається біліпшицевим, якщо у нього існує обернене ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ і обидва ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle f^{-1}}$ є ліпшицевими.
• Відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ називається коліпшицевим, якщо існує константа ${\displaystyle L}$, така, що для будь-яких ${\displaystyle x\in X}$ і ${\displaystyle y\in Y}$ знайдеться ${\displaystyle x'\in f^{-1}(y)}$ таке, що

  ${\displaystyle \rho _{Y}(f(x),\;y)\leqslant L\cdot \rho _{X}(x,\;x').}$

Властивості

• Будь-яке відображення Ліпшиця є абсолютно неперервним.
• Всюди диференційована функція ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ є ліпшицевою тоді і тільки тоді коли її похідна є обмеженою. Це випливає з теореми про середнє значення.
• Теорема Радемахера стверджує, що будь-яке ліпшицеве відображення, визначене на відкритій множині в евклідовому просторі, диференційовне на ньому майже всюди.

Варіації і узагальнення

• f(t,x) є Lip_x(Ω), якщо для будь-яких x₁, х₂, х_1≠х₂ ||f(t,x₁)-f(t,х₂)|| ≤ η||(x₁- х₂)|| існує η(t):R⁺→R⁺, η(t)→0 R⁺:[t₀,∞], η(t) є C[t₀,∞],

||f(t,x₁)-f(t,х₂)||< η(t)||x₁- х₂|| при n=1  ||…||→|…|   η(t)≤ L    для будь-яких t ≥ t₀

L=const Lipshits.

• Поняття ліпшицевої функції природним чином узагальнюється на функції з обмеженим , оскільки умова Ліпшиця записується так:

${\displaystyle \omega (f,\;\delta )\leqslant L{\cdot }\delta .}$

Див. також

• Коротке відображення

Посилання

• Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis [ 18 квітня 2007 у Wayback Machine.]