Спіраль Ферма

Спіраль Ферма (також відома як параболічна спіраль) — це крива, що визначається рівнянням

Спіраль Ферма

${\displaystyle r=\pm \ a\theta ^{1/2}\,}$

в полярних координатах. Загальніший вигляд рівняння: r ² = a ²θ. Спіраль Ферма є одним з видів спіралі Архімеда.

Втім відмінність від звичайної спіралі Архімеда полягає також у тому, що відстань між сусідніми витками у першій спіралі завжди однакова, а у спіралі Ферма ця закономірність не зберігається.

У Декартовій системі координат рівняння Спіралі Ферма можна записати так:

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=tan({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}})}$

Ця формула може бути доведена завдяки зв'язку між полярною системою координат та декартовою:

${\displaystyle x=a\surd \varphi cos\varphi }$; ${\displaystyle y=a\surd \varphi sin\varphi }$; ${\displaystyle \varphi \geq 0}$; ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$, а також враховуючи, що ${\displaystyle \varphi ={\frac {r^{2}}{a^{2}}}}$

Спіраль Ферма і квітка соняшнику

Розміщення соняшнику згідно з моделлю Фогеля (центральне зображення). Два інших зображення показують розміщення при трохи інших значеннях кута.

У квітці соняшнику група спіралей залягає числами Фібоначчі, оскільки дивергенція (кут послідовності в організації спіралей) прямує до золотого відношення. Форма спіралей залежить від росту послідовних елементів. В зрілій квітці (коли всі елементи мають однаковий розмір) спіралі насіння є спіралями Ферма. Це тому що спіралі Ферма перетинають рівня кільця в однакових положеннях. Повна модель була запропонована Фогелем в 1979. Формула має такий вигляд:

${\displaystyle r=c{\sqrt {n}},}$

${\displaystyle \theta =n\times 137.508^{\circ },}$

де θ — це кут, r — радіус відстані від центру, n — індекс простої квітки і c — це параметр. Кут 137,508° це , який є апроксимованим відношенням чисел Фібоначчі.

Див. також

• Логарифмічна спіраль
• Гіперболічна спіраль
• Спіраль Архімеда

Примітки

1. . Архів оригіналу за 22 березня 2021. Процитовано 22 квітня 2010.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title ()
2. Vogel, H (1979), A better way to construct the sunflower head, Mathematical Biosciences, 44 (44): 179—189, doi:10.1016/0025-5564(79)90080-4
3. ; (1990). The Algorithmic Beauty of Plants. Springer-Verlag. с. 101–107. ISBN .

Література

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. с. 31, 186. ISBN .

Посилання

• Online exploration using JSXGraph (JavaScript) [ 15 травня 2021 у Wayback Machine.]