Рівняння Гінзбурга-Ландау

Рівняння Гінзбурга — Ландау рівняння, які описують стан надпровідника в зовнішньому магнітному полі.

В теорії Гінзбурга — Ландау надпровідник описується параметром порядку ψ, який вважається малим, а тому розглядається область в околиці фазового переходу між надпровідним і звичайним станом (у звичайному стані параметр порядку дорівнює нулю).

Рівняння мають такий вигляд:

${\displaystyle {\frac {1}{4m}}\left(-i\hbar \nabla -{\frac {2e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}\psi +a\psi +b|\psi |^{2}\psi =0}$,

де ${\displaystyle \hbar }$ — приведена стала Планка, m — маса електрона, c — швидкість світла, ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — векторний потенціал, a та b — певні сталі, які характеризують надпровідник.

Рівняння нагадує рівняння Шредінгера, але для частинки з масою й зарядом вдвічі більшими за масу й заряд електрона (куперівська пара).

Крім наведеного рівняння величина магнітного поля визначається із звичного рівняння електродинаміки

${\displaystyle {\text{rot}}\,\mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }$,

де густина струму ${\displaystyle \mathbf {j} }$ визначається виразом

${\displaystyle \mathbf {j} =-i{\frac {e\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})-{\frac {2e^{2}}{mc}}|\psi |^{2}\mathbf {A} }$.

Вільна енергія

Рівняння Гінзбурга — Ландау виводяться із принципу мінімальності вільної енергії термодинамічної системи у рівноважному стані. Виражена через параметр порядку, вільна енергія має такий вигляд:

${\displaystyle F=F_{n0}+\int \left\{{\frac {B^{2}}{8\pi }}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|\left(\nabla -{\frac {2ie}{\hbar c}}\mathbf {A} \right)\psi \right|^{2}+a|\psi |^{2}+{\frac {b}{2}}|\psi |^{4}\right\}dV}$

Теорія Гінзбурга — Ландау дозволяє розраховувати критичні магнітні поля, проникнення магнітного поля в надпровідник тощо.

Граничні умови

На межі між надпровідником і речовиною в нормальному стані параметр порядку повинен задовільняти граничним умовам

${\displaystyle \mathbf {n} \left(-i\hbar \nabla \psi -{\frac {2e}{c}}\mathbf {A} \psi \right)=0}$,

де ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — орт нормалі до поверхні розділу.

Історія

Сільвія Серваті у 2004 році отримала премію EMS за внесок у теорію Гінзбурга – Ландау.

Література

• Локтєв В. М. Лекції з теорії надпровідності. — К. : ІТФ НАН України, 2011. — 276 с.
• Шмидт В. В. Введение в физику сверхпроводников. — М. : МЦНМО, 2000. — 402 с.

Примітки

1. Віталій Лазаревич Гінзбург отримав Нобелівську премію в 2003 році за свій вклад у розвиток фізики надпровідників
2. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в Міжнародну систему величин (ISQ) дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему ISQ.
3. Sylvia Serfaty de nouveau couronnée avec le grand prix Mergier-Bourdeix de l’Académie des Sciences (French) , UPMC, 12 липня 2013, процитовано 24 червня 2019