Рівня́ння Ма́ксвелла — це основні рівняння класичної електродинаміки, які описують електричне та магнітне поле, створене зарядами й струмами.
Рівняння Максвелла | |
Названо на честь | Джеймс Клерк Максвелл |
---|---|
Дата публікації | 1861 |
Формула | і |
![]() | |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Є об'єднанням | d |
|
Рівняння електродинаміки в диференціальній формі
Форма запису рівнянь Максвелла залежить від системи одиниць. Здебільшого фізики користуються формою запису в системі СГСГ. У Міжнародній системі величин (ISQ), на базі якої побудована Міжнародна система одиниць (SI), вибрана форма запису, в якій не фігурують множник та швидкість світла с. Ідея полягала в тому, щоб записати рівняння Максвелла як найфундаментальніші рівняння в найпростішій формі. Однак це призвело до появи зайвих множників в інших основних рівняннях, наприклад, законі Кулона. Крім того напруженості електричних та магнітного полів отримали різні розмірності, що з точки зору фізики є великим недоліком. Оскільки рівняння Максвелла описують розповсюдження електромагнітних хвиль, то бажано також, щоб їхня швидкість (швидкість світла) входила в рівняння.
СГСГ
У вакуумі
У диференційній формі рівняння Максвелла для вакууму мають такий вигляд
,
,
.
Рівняння записані в системі СГС. Тут — напруженість електричного поля,
— вектор магнітної індукції,
— густина електричного заряду,
— густина електричного струму,
— швидкість світла.
У середовищі
У речовині електричне та магнітні поля характеризуються додатковими векторами: електричною індукцією та напруженістю магнітного поля, зв'язаних з, відповідно, напруженістю електричного поля й магнітною індукцією співвідношення, які називають матеріальними. У загальному вигляді матеріальні співвідношення мають складну нелокальну форму, тому при запису основних рівнянь електродинаміки їх не наводять. Рівняння набирають вигляду
,
,
.
Тут — густина вільних зарядів. Внесок зв'язаних зарядів враховується при визначенні вектора електричної індукці
.
Міжнародна система величин
У Міжнародній системі величин (ISQ) навіть для вакууму вводяться дві додаткові характеристики електромагнітного поля: вектор електричної індукції та напруженість магнітного поля. У вакуумі вони пов'язані з напруженістю електричного поля та магнітною індукцією за допомогою сталих множників
,
де — електрична стала,
— магнітна стала,
— поляризація та намагніченість (сумарні дипольні моменти
), тому система диференційних рівнянь Максвелла має такий вигляд:
,
,
.
У речовині рівняння зберігають свій вигляд, за винятком того, що матеріальні співвідношення, тобто зв'язкок між та
,
та
мають складнішу форму, і замість густини усіх електричних зарядів
враховуються тільки вільні електричні заряди.
Пояснення
Перше рівняння Максвелла (закон Ампера) визначає магнітне поле, створене струмом із густиною або ж наведене змінним електричним полем.
Друге рівняння Максвелла (закон Фарадея) визначає електричне поле, яке виникає при зміні напруженості магнітного поля.
Третє рівняння Максвелла (теорема Гауса) стверджує, що не існує монопольних магнітних зарядів.
Четверте рівняння Максвелла (рівняння Пуассона) стверджує, що навколо електричних зарядів існує електричне поле. Це рівняння аналогічне закону Кулона.
Історична довідка
Згідно з легендою, приступаючи до роботи над створенням загальної теорії електромагнітних явищ, Джеймс Клерк Максвелл вирішив, що читатиме тільки експериментальні роботи. При виведенні своїх рівнянь він опирався на закон Кулона, який визначав силу взаємодії між зарядами, закон Ампера, що визначав силу взаємодії між струмами, закон електромагнітної індукції Фарадея, відсутність експериментальних даних, що вказували б на існування магнітного монополя та математичний апарат, розвинутий при вивченні явищ в області механіки й гідродинаміки.
Електричне та магнітні поля Максвелл уявляв собі, як механічні збурення певного середовища — ефіру. В Ганс Крістіан Ерстед виявив, що проходячи через дріт гальванічний струм, змушує відхилятися магнітну стрілку компаса. Таке відкриття притягло широку уваги вчених того часу. В тому ж 1820 році Жан-Батіст Біо та Фелікс Савар експериментально знайшли вираз для магнітної індукції, яка виникає (закон Біо — Савара — Лапласа), і Андре-Марі Ампер виявив, що взаємозв'язок на відстані з'являється також між двома дротами, через які проходить струм. Ампер увів термін «електродинамічний» і висунув гіпотезу, що природний магнетизм пов'язаний з існуванням в магніті кільцевих струмів.
Вплив струму на магніт, виявлений Ерстедом, призвело Майкла Фарадея до ідеї про те, що повинен існувати зворотний вплив магніту на струми. Після тривалих експериментів, в , Фарадей відкрив, що магніт, який переміщається біля провідника, породжує в провіднику електричний струм. Це явище було названо електромагнітною індукцією. Фарадей ввів поняття «поля сил» — деякого середовища, що знаходиться між зарядами і струмами. Його міркування мали якісний характер, однак вони зробили величезний вплив на дослідження Максвелла.
Після відкриттів Фарадея стало ясно, що старі моделі електромагнетизму (Ампер, Пуассон та інші) неповні. Незабаром з'явилася теорія Вебера, заснована на далекодії. Проте відтоді вся фізика, крім теорії тяжіння, мала справу лише з близькодією (оптика, термодинаміка, механіка суцільних середовищ тощо). Гаус, Ріман і ряд інших вчених висловлювали припущення, що світло має електромагнітну природу, так що теорія електромагнітних явищ теж повинна бути близькодієвою. Цей принцип став суттєвою особливістю теорії Максвелла.
Максвелл вперше опублікував свої рівняння в 1861 році. В 1864 побачила світ інша його праця, в якій рівнянь було вісім, оскільки вони включали інші закони, які зараз не заведено включати в число рівнянь Максвелла. В 1884 Гевісайд за допомоги Гіббса вибрали першу систему 4-х рівнянь і переписали її у векторній формі, близькій до сучасної.
Неінваріантність відносно перетворень Галілея
Рівняння Максвелла змінюють свій вигляд при переході від одної інерційної системи координат до іншої, якщо правила цього переходу задавати класичними перетвореннями Галілея. Ця обставина мало хвилювала Максвелла й інших вчених XIX сторіччя, оскільки вважалося, що рівняння справедливі лише в одній системі координат — тій, що зв'язана з непорушним ефіром.
У 1887 році Лармор знайшов перетворення, при яких рівняння Максвелла не змінюють вигляду при переході від одної неінерційної системи координат до іншої. Ці перетворення були названі перетвореннями Лоренца (Лоренц отримав їх у наближеному вигляді трошки раніше). Саме ці перетворення Ейнштейн поклав в основу спеціальної теорії відносності, яка відмовилася від ідеї про існування ефіру. Після цього рівняння Максвелла набули статусу універсального закону природи, справедливого в будь-якій системі координат. Проте їхня інтерпретація докорінно відрізняється від ідей, на основі яких Максвелл їх вивів.
Таблиця рівнянь у ISQ
У ISQ рівняння електродинаміки мають наступний вигляд:
Lp. | Диференціальне рівняння | Інтегральне рівняння | Назва | Явище, котре описує рівняння |
---|---|---|---|---|
1. | (закон Фарадея) | Змінне у часі магнітне поле викликає вихрове електричне поле. | ||
2. | Закон Ампера, розширений Максвеллом | Електричний струм і змінне електричне поле створюють магнітне поле. | ||
3. | закон Гауса для електрики | Джерело електричного поля — заряди | ||
4. | Закон Гауса для магнітного поля | Не існує заряду магнітного поля, силові лінії магнітного поля замкнені. |
де:
- D — електрична індукція [ Кл / м²]
- B — магнітна індукція [ T ]
- E — напруженість електричного поля [ В / м ]
- H — напруженість магнітного поля [ A / м ]
- ΦD — потік електричної індукції [ Кл = A·с]
- ΦB — магнітний потік [ Вб ]
- j — густина струму [А/м²]
- ρ — густина заряду [ Кл / м3]
— оператор дивергенції [1/м],
— оператор ротора [1/м].
Отримання рівнянь Максвелла у вакуумі із використанням СТВ, принципу суперпозиції та закону Кулона
Із отримання виразу для сили Лоренца, напруженістю електричного поля заряду, що рухається, є вираз
,
а індукцією магнітного поля —
.
Якщо у підставити
, то значення відповідно напруженості та індукції буде нескінченно великим. Для уникнення цього можна штучно ввести константу
як доданок у знаменник
(регуляризація). Тоді модифікований вираз набуде вигляду
.
Для того, щоб показати, у якій мірі точки простору є джерелами та стоками електричного та магнітного полів, треба взяти дивергенцію від напруженості електричного поля та від індукції магнітного поля. З урахуванням попередніх перетворень,
.
.
.
.
,
з виразу можна отримати:
,
.
,
де
- тривимірна дельта-функція Дірака, яка дозволяє записати просторову густину заряду, зосередженого в одній точці. З неї видно, що у кожній точці, крім як при
, у якій
. Звідси можна стверджувати, базуючись на визначенні дивергенції, що електричний заряд — точка (у даному випадку), яка є джерелом електричної індукції.
Перейшовши до неперервного розподілення зарядів у об'ємі та використавши аксіому принципа суперпозиції полів, суму тривимірних дельта-функцій Дірака можна замінити об'ємною густиною:
.
Рівняння є першим рівнянням Максвелла. Із нього можна отримати багато фізичних наслідків. Один з цих наслідків полягає у тому, що силові лінії поля починаються на додатному заряді і можуть замикатися лише на від'ємному, оскільки для додатного заряду
відповідає витоку поля, а для від'ємного — його стоку.
Аналогічно можна отримати величину дивергенції магнітної індукції.
Для цього треба урахувати наступні попередні виведення.
.
.
Тоді, користуючись тим, що, одразу, , можна отримати, що
.
.
Звідси очевидно, виходячи з поняття дивергенції, що жодна з точок простору у полі заряду, що рухається, включаючи точку положення самого заряду, не є джерелом магнітного поля.
Рівняння є другим рівнянням Максвелла.
Тепер, для визначеності закрученості поля в точках, можна взяти ротор від .
З урахуванням же того, що швидкість руху ІСВ постійна, можна записати явний вираз для ротора магнітного поля:
.
.
Цей вираз можна видозмінити за допомогою наступних міркувань.
При аналізі руху ІСВ відносно заряду треба виразити радіус-вектор у явному вигляді:
.
Тоді частинна похідна по часу напруженості електричного поля буде рівна
.
Підставивши у
, можна отримати:
,
де — густина струму.
Рівняння є третім рівнянням Максвелла. З нього видно, що при електричний струм або зміна його у часі породжують вихрове магнітне поле.
Ротор же від напруженості електричного поля буде рівен
.
Вираз , аналогічно до
, можна перетворити. Тоді
.
Аналогічно до похідної по часу напруженості , можна обчислити похідну від індукції магнітного поля
:
.
Оскільки , то векторний добуток можна винести за знак оператора похідної. Тоді
.
Рівняння є четвертим рівнянням Максвелла. З нього видно, що ротор напруженості електричного поля змінюється тільки тоді, коли є нестаціонарне магнітне поле (і, відповідно, напруженість електричного поля не сферично-симетрична через релятивістські ефекти — є виділений напрям руху заряду). У випадку із зарядом, який покоїться, поле сферично-симетричне, тому для нього ротор рівен нулю.
На остачу залишилось написати про дві аксіоми, кожна з яких має досить вагомий внесок у можливість застосування отриманих рівнянь для електродинаміки.
Перша аксіома полягає у постулюванні векторної природи електромагнітного поля. Якщо б природа електромагнітного поля була тензорною, то для його описання знадобилися б рівняння на кшталт рівнянь ЗТВ. Наприклад, якщо формально застосувати ту ж методику, що продемонстрована у цьому розділі, до закону Всесвітнього тяжіння, то можна отримати рівняння, схожі до рівнянь Максвелла, як і вираз для сили, подібний до виразу сили Лоренца. Проте їх вірність не підтверджується експериментально, хоч якісно вони і вірно описують динаміку тіл у гравітаційному полі за умови справедливості принципу суперпозиції.
Друга ж аксіома пов'язана з постулюванням незалежності рівнянь Максвелла від прискорення заряду, що створює поле. Тобто, вони справедливі для будь-яких можливих випадків руху заряду.
Окрім цього, варто написати про принцип суперпозиції. Він може бути застосований до тих пір, поки поля, що створюються зарядами, не стануть настільки сильними, що будуть впливати на простір-час, унеможливлюючи представлення векторів-характеристик поля системи через лінійну комбінацію векторів зарядів цієї системи.
Незалежність рівнянь Максвелла
Користуючись рівнянням неперервності, можна перевірити систему рівнянь Максвелла на невиродженість. Взявши дивергенцію від роторного рівняння для індукції магнітного поля без підстановки і виразивши з рівняння неперервності
, можна отримати:
.
Аналогічно можна взяти дивергенцію від четвертого рівняння Максвелла:
.
Таким чином, із другої пари рівнянь Максвелла можна отримати першу тільки з точністю до функцій від координат, які не залежать від часу. Строго довести же, користуючись лише цими двома рівняннями, що функції рівні нулю, неможливо. Тому у цьому сенсі рівняння Максвелла (усього їх вісім — дві пари по три рівняння (оскільки роторні рівняння розпадаються на три компонентних рівняння)) є незалежними.
Примітки
- Ерстед Г. К. «Досліди, які стосуються дій електричного незвязку на магнітну стрілу», в кн. Ампер A.M.: Електродинаміка, сторінка=433-439
- and , Note sur le Magnétisme de la pile de Volta. — Annales Chim. Phys. — vol. 15. — pp. 222—223 (1820)
- Книга: Маріо Льоцці: Історія фізики, сторінки=253-257
Див. також
Ця стаття потребує додаткових для поліпшення її . (січень 2020) |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rivnya nnya Ma ksvella ce osnovni rivnyannya klasichnoyi elektrodinamiki yaki opisuyut elektrichne ta magnitne pole stvorene zaryadami j strumami Rivnyannya Maksvella Nazvano na chestDzhejms Klerk Maksvell Data publikaciyi1861 Formula E r e 0 B 0 E B t B m 0 J e 0 E t displaystyle begin aligned nabla cdot mathbf E amp frac rho varepsilon 0 nabla cdot mathbf B amp 0 nabla times mathbf E amp frac partial mathbf B partial t nabla times mathbf B amp mu 0 left mathbf J varepsilon 0 frac partial mathbf E partial t right end aligned i a F b g 0 a F a b m 0 J b displaystyle begin aligned partial alpha F beta gamma amp 0 partial alpha F alpha beta amp mu 0 J beta end aligned Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Ye ob yednannyamd Rivnyannya Maksvella u VikishovishiRivnyannya elektrodinamiki v diferencialnij formiForma zapisu rivnyan Maksvella zalezhit vid sistemi odinic Zdebilshogo fiziki koristuyutsya formoyu zapisu v sistemi SGSG U Mizhnarodnij sistemi velichin ISQ na bazi yakoyi pobudovana Mizhnarodna sistema odinic SI vibrana forma zapisu v yakij ne figuruyut mnozhnik 4 p displaystyle 4 pi ta shvidkist svitla s Ideya polyagala v tomu shob zapisati rivnyannya Maksvella yak najfundamentalnishi rivnyannya v najprostishij formi Odnak ce prizvelo do poyavi zajvih mnozhnikiv v inshih osnovnih rivnyannyah napriklad zakoni Kulona Krim togo napruzhenosti elektrichnih ta magnitnogo poliv otrimali rizni rozmirnosti sho z tochki zoru fiziki ye velikim nedolikom Oskilki rivnyannya Maksvella opisuyut rozpovsyudzhennya elektromagnitnih hvil to bazhano takozh shob yihnya shvidkist shvidkist svitla vhodila v rivnyannya SGSG U vakuumi U diferencijnij formi rivnyannya Maksvella dlya vakuumu mayut takij viglyad rot B 1 c E t 4 p c j displaystyle text rot mathbf B frac 1 c frac partial mathbf E partial t frac 4 pi c mathbf j rot E 1 c B t displaystyle text rot mathbf E frac 1 c frac partial mathbf B partial t div B 0 displaystyle text div mathbf B 0 div E 4 p r displaystyle text div mathbf E 4 pi rho Rivnyannya zapisani v sistemi SGS Tut E displaystyle mathbf E napruzhenist elektrichnogo polya B displaystyle mathbf B vektor magnitnoyi indukciyi r displaystyle rho gustina elektrichnogo zaryadu j displaystyle mathbf j gustina elektrichnogo strumu c displaystyle c shvidkist svitla U seredovishi U rechovini elektrichne ta magnitni polya harakterizuyutsya dodatkovimi vektorami elektrichnoyu indukciyeyu ta napruzhenistyu magnitnogo polya zv yazanih z vidpovidno napruzhenistyu elektrichnogo polya j magnitnoyu indukciyeyu spivvidnoshennya yaki nazivayut materialnimi U zagalnomu viglyadi materialni spivvidnoshennya mayut skladnu nelokalnu formu tomu pri zapisu osnovnih rivnyan elektrodinamiki yih ne navodyat Rivnyannya nabirayut viglyadu rot H 1 c D t 4 p c j J D displaystyle text rot mathbf H frac 1 c frac partial mathbf D partial t frac 4 pi c mathbf j J dot D rot E 1 c B t B displaystyle text rot mathbf E frac 1 c frac partial mathbf B partial t dot B div B 0 displaystyle text div mathbf B 0 div D 4 p r f displaystyle text div mathbf D 4 pi rho f Tut r f displaystyle rho f gustina vilnih zaryadiv Vnesok zv yazanih zaryadiv vrahovuyetsya pri viznachenni vektora elektrichnoyi indukci D displaystyle mathbf D Mizhnarodna sistema velichin U Mizhnarodnij sistemi velichin ISQ navit dlya vakuumu vvodyatsya dvi dodatkovi harakteristiki elektromagnitnogo polya vektor elektrichnoyi indukciyi ta napruzhenist magnitnogo polya U vakuumi voni pov yazani z napruzhenistyu elektrichnogo polya ta magnitnoyu indukciyeyu za dopomogoyu stalih mnozhnikiv B m 0 H displaystyle mathbf B mu 0 mathbf H H B m 0 M displaystyle textbf H textbf B mu 0 textbf M D e 0 E P displaystyle mathbf D varepsilon 0 mathbf E textbf P de e 0 displaystyle varepsilon 0 elektrichna stala m 0 displaystyle mu 0 magnitna stala P M displaystyle textbf P textbf M polyarizaciya ta namagnichenist sumarni dipolni momenti d V displaystyle dV tomu sistema diferencijnih rivnyan Maksvella maye takij viglyad rot H D t j displaystyle text rot mathbf H frac partial mathbf D partial t mathbf j rot E B t displaystyle text rot mathbf E frac partial mathbf B partial t div B 0 displaystyle text div mathbf B 0 div D r displaystyle text div mathbf D rho U rechovini rivnyannya zberigayut svij viglyad za vinyatkom togo sho materialni spivvidnoshennya tobto zv yazkok mizh D displaystyle mathbf D ta E displaystyle mathbf E B displaystyle mathbf B ta H displaystyle mathbf H mayut skladnishu formu i zamist gustini usih elektrichnih zaryadiv r displaystyle rho vrahovuyutsya tilki vilni elektrichni zaryadi PoyasnennyaPershe rivnyannya Maksvella zakon Ampera viznachaye magnitne pole stvorene strumom iz gustinoyu j displaystyle mathbf j abo zh navedene zminnim elektrichnim polem Druge rivnyannya Maksvella zakon Faradeya viznachaye elektrichne pole yake vinikaye pri zmini napruzhenosti magnitnogo polya Tretye rivnyannya Maksvella teorema Gausa stverdzhuye sho ne isnuye monopolnih magnitnih zaryadiv Chetverte rivnyannya Maksvella rivnyannya Puassona stverdzhuye sho navkolo elektrichnih zaryadiv isnuye elektrichne pole Ce rivnyannya analogichne zakonu Kulona Istorichna dovidkaZgidno z legendoyu pristupayuchi do roboti nad stvorennyam zagalnoyi teoriyi elektromagnitnih yavish Dzhejms Klerk Maksvell virishiv sho chitatime tilki eksperimentalni roboti Pri vivedenni svoyih rivnyan vin opiravsya na zakon Kulona yakij viznachav silu vzayemodiyi mizh zaryadami zakon Ampera sho viznachav silu vzayemodiyi mizh strumami zakon elektromagnitnoyi indukciyi Faradeya vidsutnist eksperimentalnih danih sho vkazuvali b na isnuvannya magnitnogo monopolya ta matematichnij aparat rozvinutij pri vivchenni yavish v oblasti mehaniki j gidrodinamiki Elektrichne ta magnitni polya Maksvell uyavlyav sobi yak mehanichni zburennya pevnogo seredovisha efiru V Gans Kristian Ersted viyaviv sho prohodyachi cherez drit galvanichnij strum zmushuye vidhilyatisya magnitnu strilku kompasa Take vidkrittya prityaglo shiroku uvagi vchenih togo chasu V tomu zh 1820 roci Zhan Batist Bio ta Feliks Savar eksperimentalno znajshli viraz dlya magnitnoyi indukciyi yaka vinikaye zakon Bio Savara Laplasa i Andre Mari Amper viyaviv sho vzayemozv yazok na vidstani z yavlyayetsya takozh mizh dvoma drotami cherez yaki prohodit strum Amper uviv termin elektrodinamichnij i visunuv gipotezu sho prirodnij magnetizm pov yazanij z isnuvannyam v magniti kilcevih strumiv Vpliv strumu na magnit viyavlenij Erstedom prizvelo Majkla Faradeya do ideyi pro te sho povinen isnuvati zvorotnij vpliv magnitu na strumi Pislya trivalih eksperimentiv v Faradej vidkriv sho magnit yakij peremishayetsya bilya providnika porodzhuye v providniku elektrichnij strum Ce yavishe bulo nazvano elektromagnitnoyu indukciyeyu Faradej vviv ponyattya polya sil deyakogo seredovisha sho znahoditsya mizh zaryadami i strumami Jogo mirkuvannya mali yakisnij harakter odnak voni zrobili velicheznij vpliv na doslidzhennya Maksvella Pislya vidkrittiv Faradeya stalo yasno sho stari modeli elektromagnetizmu Amper Puasson ta inshi nepovni Nezabarom z yavilasya teoriya Vebera zasnovana na dalekodiyi Prote vidtodi vsya fizika krim teoriyi tyazhinnya mala spravu lishe z blizkodiyeyu optika termodinamika mehanika sucilnih seredovish tosho Gaus Riman i ryad inshih vchenih vislovlyuvali pripushennya sho svitlo maye elektromagnitnu prirodu tak sho teoriya elektromagnitnih yavish tezh povinna buti blizkodiyevoyu Cej princip stav suttyevoyu osoblivistyu teoriyi Maksvella Maksvell vpershe opublikuvav svoyi rivnyannya v 1861 roci V 1864 pobachila svit insha jogo pracya v yakij rivnyan bulo visim oskilki voni vklyuchali inshi zakoni yaki zaraz ne zavedeno vklyuchati v chislo rivnyan Maksvella V 1884 Gevisajd za dopomogi Gibbsa vibrali pershu sistemu 4 h rivnyan i perepisali yiyi u vektornij formi blizkij do suchasnoyi Neinvariantnist vidnosno peretvoren GalileyaRivnyannya Maksvella zminyuyut svij viglyad pri perehodi vid odnoyi inercijnoyi sistemi koordinat do inshoyi yaksho pravila cogo perehodu zadavati klasichnimi peretvorennyami Galileya Cya obstavina malo hvilyuvala Maksvella j inshih vchenih XIX storichchya oskilki vvazhalosya sho rivnyannya spravedlivi lishe v odnij sistemi koordinat tij sho zv yazana z neporushnim efirom U 1887 roci Larmor znajshov peretvorennya pri yakih rivnyannya Maksvella ne zminyuyut viglyadu pri perehodi vid odnoyi neinercijnoyi sistemi koordinat do inshoyi Ci peretvorennya buli nazvani peretvorennyami Lorenca Lorenc otrimav yih u nablizhenomu viglyadi troshki ranishe Same ci peretvorennya Ejnshtejn poklav v osnovu specialnoyi teoriyi vidnosnosti yaka vidmovilasya vid ideyi pro isnuvannya efiru Pislya cogo rivnyannya Maksvella nabuli statusu universalnogo zakonu prirodi spravedlivogo v bud yakij sistemi koordinat Prote yihnya interpretaciya dokorinno vidriznyayetsya vid idej na osnovi yakih Maksvell yih viviv Tablicya rivnyan u ISQU ISQ rivnyannya elektrodinamiki mayut nastupnij viglyad Lp Diferencialne rivnyannya Integralne rivnyannya Nazva Yavishe kotre opisuye rivnyannya 1 E B t displaystyle nabla times vec E frac partial vec B partial t L E d l d F B d t displaystyle oint limits L vec E cdot mbox d vec l frac mbox d Phi B mbox d t zakon Faradeya Zminne u chasi magnitne pole viklikaye vihrove elektrichne pole 2 H j D t displaystyle nabla times vec H vec j frac partial vec D partial t L H d l I d F D d t displaystyle oint limits L vec H cdot mbox d vec l I frac mbox d Phi D mbox d t Zakon Ampera rozshirenij Maksvellom Elektrichnij strum i zminne elektrichne pole stvoryuyut magnitne pole 3 D r displaystyle nabla cdot vec D rho S D d s V r d V displaystyle oint limits S vec D cdot mbox d vec s int limits V rho cdot mbox d V zakon Gausa dlya elektriki Dzherelo elektrichnogo polya zaryadi 4 B 0 displaystyle nabla cdot vec B 0 S B d s 0 displaystyle oint limits S vec B cdot mbox d vec s 0 Zakon Gausa dlya magnitnogo polya Ne isnuye zaryadu magnitnogo polya silovi liniyi magnitnogo polya zamkneni de D elektrichna indukciya Kl m B magnitna indukciya T E napruzhenist elektrichnogo polya V m H napruzhenist magnitnogo polya A m FD potik elektrichnoyi indukciyi Kl A s FB magnitnij potik Vb j gustina strumu A m r gustina zaryadu Kl m3 displaystyle nabla cdot operator divergenciyi 1 m displaystyle nabla times operator rotora 1 m Otrimannya rivnyan Maksvella u vakuumi iz vikoristannyam STV principu superpoziciyi ta zakonu KulonaIz otrimannya virazu dlya sili Lorenca napruzhenistyu elektrichnogo polya zaryadu sho ruhayetsya ye viraz E Q g r r 2 g 2 c 2 r u 2 3 2 1 displaystyle mathbf E frac Q gamma mathbf r left mathbf r 2 frac gamma 2 c 2 mathbf r cdot mathbf u 2 right frac 3 2 qquad 1 a indukciyeyu magnitnogo polya B 1 c u E displaystyle mathbf B frac 1 c mathbf u times mathbf E Yaksho u 1 displaystyle 1 pidstaviti r 0 displaystyle mathbf r 0 to znachennya vidpovidno napruzhenosti ta indukciyi bude neskinchenno velikim Dlya uniknennya cogo mozhna shtuchno vvesti konstantu a 2 displaystyle a 2 yak dodanok u znamennik 1 displaystyle 1 regulyarizaciya Todi modifikovanij viraz nabude viglyadu E Q g r r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 2 displaystyle mathbf E frac Q gamma mathbf r left mathbf r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 right frac 3 2 qquad 2 Dlya togo shob pokazati u yakij miri tochki prostoru ye dzherelami ta stokami elektrichnogo ta magnitnogo poliv treba vzyati divergenciyu vid napruzhenosti elektrichnogo polya ta vid indukciyi magnitnogo polya Z urahuvannyam poperednih peretvoren Poperedni peretvorennya r d i v x i y j z k x x y y z z 3 displaystyle nabla mathbf r div x mathbf i y mathbf j z mathbf k frac partial x partial x frac partial y partial y frac partial z partial z 3 g r a d r r x i r y j r z k r r displaystyle grad r frac partial r partial x mathbf i frac partial r partial y mathbf j frac partial r partial z mathbf k frac mathbf r r f r f r x x f r y y f r z z f r x x f r y y f r z z r x f x r y f y r z f z f r r g r a d f displaystyle nabla varphi mathbf r frac partial varphi r x partial x frac partial varphi r y partial y frac partial varphi r z partial z varphi frac partial r x partial x varphi frac partial r y partial y varphi frac partial r z partial z r x frac partial varphi partial x r y frac partial varphi partial y r z frac partial varphi partial z varphi nabla mathbf r mathbf r cdot grad varphi g r a d r u 2 2 g r a d r u r u 2 g r a d r x u x r y u y r z u z r u 2 u x i u y j u z k r u 2 u r u displaystyle grad mathbf r cdot mathbf u 2 2grad mathbf r cdot mathbf u mathbf r cdot mathbf u 2grad r x u x r y u y r z u z mathbf r cdot mathbf u 2 u x mathbf i u y mathbf j u z mathbf k mathbf r cdot mathbf u 2 mathbf u mathbf r cdot mathbf u z virazu 2 displaystyle 2 mozhna otrimati E 4 p Q d a r displaystyle nabla mathbf E 4 pi Q delta a mathbf r vivedennya E Q g r r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 3 Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 3 2 k Q g r r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 r r 2 r 2 g 2 u r u c 2 displaystyle nabla mathbf E nabla frac Q gamma mathbf r r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 frac 3Q gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 frac 3 2 frac kQ gamma mathbf r r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 left frac mathbf r r 2r 2 gamma 2 mathbf u frac mathbf r cdot mathbf u c 2 right 3 Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 3 k Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 3 Q g a 2 r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 4 p 3 Q g a 2 4 p r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 displaystyle frac 3Q gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 frac 3kQ gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 frac 3Q gamma a 2 r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 frac 4 pi 3Q gamma a 2 4 pi r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 de d a r 3 g a 2 4 p r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 displaystyle delta a mathbf r frac 3 gamma a 2 4 pi r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 trivimirna delta funkciya Diraka yaka dozvolyaye zapisati prostorovu gustinu zaryadu zoseredzhenogo v odnij tochci Z neyi vidno sho E 0 displaystyle nabla mathbf E 0 u kozhnij tochci krim yak pri r 0 a gt 0 displaystyle r 0 a gt 0 u yakij E displaystyle nabla mathbf E infty Zvidsi mozhna stverdzhuvati bazuyuchis na viznachenni divergenciyi sho elektrichnij zaryad tochka u danomu vipadku yaka ye dzherelom elektrichnoyi indukciyi Perejshovshi do neperervnogo rozpodilennya zaryadiv u ob yemi ta vikoristavshi aksiomu principa superpoziciyi poliv sumu trivimirnih delta funkcij Diraka mozhna zaminiti ob yemnoyu gustinoyu E 4 p r r i Q i d a r r i 3 displaystyle nabla mathbf E 4 pi rho quad mathbf rho sum i Q i delta alpha mathbf r mathbf r i qquad 3 Rivnyannya 3 displaystyle 3 ye pershim rivnyannyam Maksvella Iz nogo mozhna otrimati bagato fizichnih naslidkiv Odin z cih naslidkiv polyagaye u tomu sho silovi liniyi polya pochinayutsya na dodatnomu zaryadi i mozhut zamikatisya lishe na vid yemnomu oskilki dlya dodatnogo zaryadu E displaystyle nabla mathbf E vidpovidaye vitoku polya a dlya vid yemnogo jogo stoku Analogichno mozhna otrimati velichinu divergenciyi magnitnoyi indukciyi Dlya cogo treba urahuvati nastupni poperedni vivedennya Poperedni peretvorennya f a f a a g r a d f displaystyle nabla times varphi mathbf a varphi nabla times mathbf a mathbf a times grad varphi r i j k x y z r x r y r z z y i x z j y x k x y k y z j z x i 0 displaystyle nabla times mathbf r begin vmatrix mathbf mathbf i amp mathbf mathbf j amp mathbf mathbf k frac partial partial x amp frac partial partial y amp frac partial partial z r x amp r y amp r z end vmatrix frac partial z partial y mathbf i frac partial x partial z mathbf j frac partial y partial x mathbf k frac partial x partial y mathbf k frac partial y partial z mathbf j frac partial z partial x mathbf i 0 Todi koristuyuchis tim sho odrazu u 0 displaystyle nabla mathbf u 0 mozhna otrimati sho B 0 4 displaystyle nabla mathbf B 0 qquad 4 Vivedennya B 1 c u E 1 c u E 1 c u r Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 1 c u r g r a d k Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 displaystyle nabla mathbf B nabla cdot frac 1 c mathbf u times mathbf E frac 1 c mathbf u cdot nabla times mathbf E frac 1 c left mathbf u cdot nabla times mathbf r frac Q gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 right frac 1 c left mathbf u cdot left mathbf r times grad left frac kQ gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 right right right r 0 1 c u r 3 2 Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 r r 2 r 2 g 2 u r u c 2 displaystyle nabla times mathbf r 0 frac 1 c left mathbf u cdot left mathbf r times frac 3 2 frac Q gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 left frac mathbf r r 2r 2 gamma 2 mathbf u frac mathbf r cdot mathbf u c 2 right right right 1 c u r 3 r Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 1 c u r 3 u r u Q g 3 c 2 r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 1 c u 3 r u r u Q g 3 c 2 r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 displaystyle frac 1 c left mathbf u cdot left mathbf r times frac 3 mathbf r Q gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 right right frac 1 c left mathbf u cdot left mathbf r times frac 3 mathbf u mathbf r cdot mathbf u Q gamma 3 c 2 r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 right right frac 1 c left mathbf u cdot frac 3 mathbf r times mathbf u mathbf r cdot mathbf u Q gamma 3 c 2 r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 right 1 c r u u 3 r u Q g 3 c 2 r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 0 displaystyle frac 1 c mathbf r cdot mathbf u times mathbf u frac 3 mathbf r cdot mathbf u Q gamma 3 c 2 r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 0 Zvidsi ochevidno vihodyachi z ponyattya divergenciyi sho zhodna z tochok prostoru u poli zaryadu sho ruhayetsya vklyuchayuchi tochku polozhennya samogo zaryadu ne ye dzherelom magnitnogo polya Rivnyannya 4 displaystyle 4 ye drugim rivnyannyam Maksvella Teper dlya viznachenosti zakruchenosti polya v tochkah mozhna vzyati rotor vid E B displaystyle mathbf E mathbf B Z urahuvannyam zhe togo sho shvidkist ruhu ISV postijna mozhna zapisati yavnij viraz dlya rotora magnitnogo polya B 1 c u E 1 c u E 1 c E u 5 displaystyle nabla times mathbf B nabla times frac 1 c mathbf u times mathbf E frac 1 c mathbf u mathbf E cdot nabla frac 1 c mathbf E mathbf u cdot nabla qquad 5 Dovedennya B 1 c i j k x x x u y E z u z B y u z E x u x B z u x E y u y E x 1 c u x E y E z i u y E x E z j u z E x E y k displaystyle nabla times mathbf B frac 1 c begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k frac partial partial x amp frac partial partial x amp frac partial partial x u y E z u z B y amp u z E x u x B z amp u x E y u y E x end vmatrix frac 1 c u x E y E z mathbf i u y E x E z mathbf j u z E x E y mathbf k 1 c u x E y E y E z i u y E y E y E z j u z E y E y E z k 1 c E x u x i E y u y j E z u z k 1 c u E 1 c E u displaystyle frac 1 c u x E y E y E z mathbf i u y E y E y E z mathbf j u z E y E y E z mathbf k frac 1 c E x u x mathbf i E y u y mathbf j E z u z mathbf k frac 1 c mathbf u mathbf E cdot nabla frac 1 c mathbf E mathbf u cdot nabla Cej viraz mozhna vidozminiti za dopomogoyu nastupnih mirkuvan Pri analizi ruhu ISV vidnosno zaryadu treba viraziti radius vektor r displaystyle mathbf r u yavnomu viglyadi r r 0 u t E k Q g r 0 u t r 0 u t 2 g 2 r 0 u t u 2 c 2 a 2 3 2 displaystyle mathbf r mathbf r 0 mathbf u t Rightarrow mathbf E frac kQ gamma mathbf r 0 mathbf u t mathbf r 0 mathbf u t 2 gamma 2 frac mathbf r 0 mathbf u t cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 Todi chastinna pohidna po chasu napruzhenosti elektrichnogo polya bude rivna E t i 1 3 E r 0 i u i t r 0 i u i t t i 1 3 E r i u i u E 6 displaystyle frac partial mathbf E partial t sum i 1 3 frac partial mathbf E partial r 0 i u i t frac partial r 0 i u i t partial t sum i 1 3 frac partial mathbf E partial r i u i mathbf u cdot nabla mathbf E qquad 6 Pidstavivshi 6 displaystyle 6 u 5 displaystyle 5 mozhna otrimati B 1 c u E 1 c E u 1 c 4 p Q d a r u 1 c E t 1 c 4 p j 1 c E t 7 displaystyle nabla times mathbf B frac 1 c mathbf u mathbf E cdot nabla frac 1 c mathbf E mathbf u cdot nabla frac 1 c 4 pi Q delta a mathbf r mathbf u frac 1 c frac partial mathbf E partial t frac 1 c 4 pi mathbf j frac 1 c frac partial mathbf E partial t qquad 7 de j i Q i d a r i u displaystyle mathbf j sum i Q i delta a mathbf r i mathbf u gustina strumu Rivnyannya 7 displaystyle 7 ye tretim rivnyannyam Maksvella Z nogo vidno sho pri elektrichnij strum abo zmina jogo u chasi porodzhuyut vihrove magnitne pole Rotor zhe vid napruzhenosti elektrichnogo polya bude riven E Q g r r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 r Q g r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 3 Q g r g 2 c 2 u u r r r 2 g 2 c 2 u r 2 5 2 3 u r r u Q g 3 c 2 r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 8 displaystyle nabla times mathbf E nabla times frac Q gamma mathbf r r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 nabla times mathbf r frac Q gamma r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 3Q gamma frac left left mathbf r frac gamma 2 c 2 mathbf u mathbf u cdot mathbf r right times mathbf r right left r 2 frac gamma 2 c 2 mathbf u cdot mathbf r 2 right frac 5 2 frac 3 mathbf u times mathbf r mathbf r cdot mathbf u Q gamma 3 c 2 r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 qquad 8 Viraz 8 displaystyle 8 analogichno do 6 displaystyle 6 mozhna peretvoriti Todi E 1 c B t 9 displaystyle nabla times mathbf E frac 1 c frac partial mathbf B partial t qquad 9 Dovedennya Analogichno do pohidnoyi po chasu napruzhenosti E displaystyle mathbf E mozhna obchisliti pohidnu vid indukciyi magnitnogo polya B displaystyle mathbf B B t i 1 3 B r 0 i u i t r 0 i u i t t u B Q g c u u r r 2 g 2 c 2 u r 2 3 2 displaystyle frac partial mathbf B partial t sum i 1 3 frac partial mathbf B partial r 0 i u i t frac partial r 0 i u i t partial t mathbf u nabla mathbf B frac Q gamma c mathbf u nabla left frac mathbf u times mathbf r left r 2 frac gamma 2 c 2 mathbf u cdot mathbf r 2 right frac 3 2 right Oskilki u u r u u r u u 0 displaystyle mathbf u nabla mathbf u times mathbf r mathbf u times mathbf u nabla mathbf r mathbf u times mathbf u 0 to vektornij dobutok mozhna vinesti za znak operatora pohidnoyi Todi 1 c u r Q g u r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 3 2 1 c 3 Q g 1 g 2 u 2 u r u r r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 1 c 3 Q g 3 u r u r r 2 g 2 r u 2 c 2 a 2 5 2 c E displaystyle frac 1 c mathbf u times mathbf r frac Q gamma mathbf u nabla r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 3 2 frac 1 c frac 3Q gamma 1 gamma 2 u 2 mathbf u times mathbf r mathbf u cdot mathbf r r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 frac 1 c frac 3Q gamma 3 mathbf u times mathbf r mathbf u cdot mathbf r r 2 gamma 2 frac mathbf r cdot mathbf u 2 c 2 a 2 frac 5 2 c nabla times mathbf E Rightarrow E 1 c B t displaystyle Rightarrow nabla times mathbf E frac 1 c frac partial mathbf B partial t Rivnyannya 9 displaystyle 9 ye chetvertim rivnyannyam Maksvella Z nogo vidno sho rotor napruzhenosti elektrichnogo polya zminyuyetsya tilki todi koli ye nestacionarne magnitne pole i vidpovidno napruzhenist elektrichnogo polya ne sferichno simetrichna cherez relyativistski efekti ye vidilenij napryam ruhu zaryadu U vipadku iz zaryadom yakij pokoyitsya pole sferichno simetrichne tomu dlya nogo rotor riven nulyu Na ostachu zalishilos napisati pro dvi aksiomi kozhna z yakih maye dosit vagomij vnesok u mozhlivist zastosuvannya otrimanih rivnyan dlya elektrodinamiki Persha aksioma polyagaye u postulyuvanni vektornoyi prirodi elektromagnitnogo polya Yaksho b priroda elektromagnitnogo polya bula tenzornoyu to dlya jogo opisannya znadobilisya b rivnyannya na kshtalt rivnyan ZTV Napriklad yaksho formalno zastosuvati tu zh metodiku sho prodemonstrovana u comu rozdili do zakonu Vsesvitnogo tyazhinnya to mozhna otrimati rivnyannya shozhi do rivnyan Maksvella yak i viraz dlya sili podibnij do virazu sili Lorenca Prote yih virnist ne pidtverdzhuyetsya eksperimentalno hoch yakisno voni i virno opisuyut dinamiku til u gravitacijnomu poli za umovi spravedlivosti principu superpoziciyi Druga zh aksioma pov yazana z postulyuvannyam nezalezhnosti rivnyan Maksvella vid priskorennya zaryadu sho stvoryuye pole Tobto voni spravedlivi dlya bud yakih mozhlivih vipadkiv ruhu zaryadu Okrim cogo varto napisati pro princip superpoziciyi Vin mozhe buti zastosovanij do tih pir poki polya sho stvoryuyutsya zaryadami ne stanut nastilki silnimi sho budut vplivati na prostir chas unemozhlivlyuyuchi predstavlennya vektoriv harakteristik polya sistemi cherez linijnu kombinaciyu vektoriv zaryadiv ciyeyi sistemi Nezalezhnist rivnyan MaksvellaKoristuyuchis rivnyannyam neperervnosti mozhna pereviriti sistemu rivnyan Maksvella na nevirodzhenist Vzyavshi divergenciyu vid rotornogo rivnyannya dlya indukciyi magnitnogo polya bez pidstanovki E displaystyle nabla mathbf E i virazivshi z rivnyannya neperervnosti j r t displaystyle nabla mathbf j frac partial rho partial t mozhna otrimati 1 c j 1 c E t 1 c t E 4 p r 0 E 4 p r f x y z displaystyle frac 1 c nabla mathbf j frac 1 c frac partial nabla mathbf E partial t frac 1 c frac partial partial t left nabla mathbf E 4 pi rho right 0 Rightarrow nabla mathbf E 4 pi rho f x y z Analogichno mozhna vzyati divergenciyu vid chetvertogo rivnyannya Maksvella E B t 0 B g x y z displaystyle nabla cdot nabla times mathbf E frac partial nabla mathbf B partial t 0 Rightarrow nabla mathbf B g x y z Takim chinom iz drugoyi pari rivnyan Maksvella mozhna otrimati pershu tilki z tochnistyu do funkcij vid koordinat yaki ne zalezhat vid chasu Strogo dovesti zhe koristuyuchis lishe cimi dvoma rivnyannyami sho funkciyi rivni nulyu nemozhlivo Tomu u comu sensi rivnyannya Maksvella usogo yih visim dvi pari po tri rivnyannya oskilki rotorni rivnyannya rozpadayutsya na tri komponentnih rivnyannya ye nezalezhnimi PrimitkiErsted G K Doslidi yaki stosuyutsya dij elektrichnogo nezvyazku na magnitnu strilu v kn Amper A M Elektrodinamika storinka 433 439 and Note sur le Magnetisme de la pile de Volta Annales Chim Phys vol 15 pp 222 223 1820 Kniga Mario Locci Istoriya fiziki storinki 253 257Div takozhSila Lorenca Peretvorennya Lorenca Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno sichen 2020